문제
구슬의 무게 순서 정하기
구슬 4개는 생김새가 같지만 무게는 모두 다릅니다. 양팔저울은 두 개를 견주어 어느 쪽이 무거운지만 알려 줍니다. 눈금은 없습니다. 무거운 순서로 줄 세우는 데 필요한 가장 적은 횟수를 구합니다.
사고력 · 초6-2 양팔저울과 가짜 금화
내 답
조심 여섯 짝을 다 재야 할 것 같지만 사슬처럼 이어져 다섯 번이면 됩니다.
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 구슬 넷을 한꺼번에 머릿속에 담기는 벅찹니다. 그래서 먼저 셋만 순서대로 세워 놓고, 이미 만들어진 그 줄에 넷째 구슬을 끼워 넣습니다. 앞부분은 갈래를 빠짐없이 적어 보면 끝나는 쉬운 문제이고, 뒷부분은 '빈자리 하나 찾기' 로 줄어듭니다. 두 조각 모두 작아서 남김없이 확인할 수 있습니다. 최솟값이라는 나머지 절반은 방법을 하나씩 나열해서는 끝이 나지 않습니다. 그래서 세는 대상을 바꿉니다. 어떤 순서로 재야 하는지를 묻는 대신, 저울이 만들어 낼 수 있는 답의 무늬가 모두 몇 가지인지를 세어 가려내야 할 순서의 가짓수와 견줍니다. 이 비교 하나가 4번짜리 방법 전부를 한꺼번에 걸러 냅니다.
1STEP 1
가려내야 할 순서가 모두 몇 가지인지 세기
가려낼 순서는 24가지입니다.
4 × 3 × 2 × 1 = 24가지 순서
'첫째 자리에 올 수 있는 가짓수 곱하기 둘째 자리에 남은 가짓수 곱하기...' 로 줄 세우기를 세는 것은 똑같은 묶음을 거듭 세는 일입니다. 3학년 곱셈의 뜻을 네 번 이어 쓴 것입니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List2STEP 2
저울 한 번이 알려 주는 정보의 양
저울 한 번은 결과가 둘뿐입니다.
한 번 재기 → 2가지 결과
양팔저울로 두 물건을 견주는 것은 유치원에서도 하는 일입니다. 새로 알아차릴 것은 '같다' 가 아예 없다는 점뿐인데, 바로 그 때문에 가짓수가 3이 아니라 2가 됩니다.
K.MD.A.2Draw A Diagram3STEP 3
4번으로는 결코 안 되는 이유
네 번으로는 열여섯 가지뿐이라 모자랍니다.
2⁴ = 16 ＜ 24 = 4 × 3 × 2 × 1
2 × 2 × 2 × 2를 2⁴으로 쓰는 것은 6학년의 거듭제곱 표기입니다. 이렇게 적어 두면 24와의 비교를 매번 계산하지 않고도 한눈에 볼 수 있습니다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities네 번의 저울질로는 결코 충분하지 않은데, 가려내야 할 순서만큼 많은 서로 다른 결과를 낼 수 없기 때문이다.
왜?
순서의 수가 나올 수 있는 결과의 가짓수보다 많다면, 서로 다른 두 순서가 같은 결과를 내어 구별되지 않은 채 남는다.
🧱상자보다 물건이 많으면 한 상자에 겹친다상자 n개는 하나씩이면 최대 n개까지만 담으므로 n 더하기 1번째 물건은 갈 새 자리가 없어 반드시 겹친다.
왜?
각 저울질의 결과가 다음 결과를 제한하지 않으므로, 네 번의 저울질은 많아야 한 개수를 네 번 곱한 만큼을 낸다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
4STEP 4
방법 만들기 1단계: 구슬 셋을 많아야 3번에 줄 세우기
구슬 셋은 많아야 3번에 줄 세울 수 있습니다.
가 ＜ 나, 다 ＜ 가 → 다 ＜ 가 ＜ 나 (2번) 가 ＜ 나, 가 ＜ 다 → 한 번 더 (3번)
물건 셋을 순서대로 놓고 그중 둘을 제삼의 것을 거쳐 견주는 일은 1학년 측정 성취기준 그대로입니다. 막대기를 나란히 대 보던 자리에 양팔저울이 들어왔을 뿐입니다.
1.MD.A.1Solve An Easier Related Problem5STEP 5
방법 만들기 2단계: 넷째 구슬을 딱 2번 더로 끼워 넣기
넷째 구슬은 2번에 끼워 넣습니다.
4군데 → 2군데 → 1
나머지 셋이 이미 한 줄로 서 있으면, 라는 자기 빈자리를 찾을 만큼만 견주면 됩니다. 나머지 순서는 앞서 한 비교들이 거저 알려 줍니다.
1.MD.A.1Make A Systematic List6STEP 6
왜 끝이 아니라 가운데 구슬과 견주는가
가운데와 먼저 견주면 자리가 절반씩 줄어듭니다.
4 → 2 → 1 (절반씩 자르기) 4 → 3 → 2 → 1 (하나씩 줄이기)
순서대로 선 구슬 셋을 직선 위에 그리고 라가 들어갈 수 있는 빈자리 4군데를 표시해 봅니다. 그러면 끝이 아니라 빈자리들의 한가운데를 겨눠야 한다는 것이 외울 규칙이 아니라 눈에 보이는 사실이 됩니다.
1.MD.A.1Draw A Diagram7STEP 7
사슬처럼 잇기가 아껴 준 횟수 확인하기
사슬처럼 이어져 여섯 짝을 다 재지 않아도 됩니다.
구슬 4개의 짝 = (4 × 3)/2 = 6 실제로 잰 횟수 = 5
'가가 나보다 가볍고 나가 다보다 가벼우니 가는 다보다 가볍다' 는 1학년이 연필로 하던 간접 비교와 같습니다. 여기서는 거저 얻는 비교 하나가 곧 값을 치르지 않은 저울질 한 번입니다.
1.MD.A.1Make A Systematic List8STEP 8
합쳐 보고 아래끝과 맞춰 보기
합하면 5번입니다.
3 + 2 = 5 2⁵ = 32 ≥ 24 ＞ 16 = 2⁴
'최소' 를 묻는 문제에는 언제나 두 짝이 필요합니다. 그 횟수를 넘지 않는 방법 하나, 그리고 그보다 작으면 안 되는 이유 하나. 한쪽만으로는 답의 절반입니다.
6.EE.A.1Solve An Easier Related Problem정답
5 번
3 + 2 = 5
서로 다른 두 가지 점검이 같은 답을 가리킵니다. 먼저 세어 보는 점검입니다. 4번으로 나올 수 있는 결과 문자열은 많아야 2 × 2 × 2 × 2 = 16가지인데 가려내야 할 순서는 4 × 3 × 2 × 1 = 24가지이므로 4번은 불가능합니다. 5번이면 문자열이 32가지여서 24보다 많으니 세기만으로는 걸러지지 않고, 실제로 그 여유를 쓸 수 있다는 것을 앞의 방법이 보여 줍니다. 다음은 크기 점검입니다. 답은 적어도 3 이상이어야 합니다. 구슬 4개를 하나의 사슬로 잇자면 고리가 3개는 있어야 하기 때문입니다. 또 6 이하여야 합니다. 6쌍을 모두 재면 분명히 되기 때문입니다. 5는 그 사이에 알맞게, 그것도 위쪽에 가깝게 놓이는데, 최악의 경우까지 견뎌야 하는 문제라면 그럴 법합니다. 또 이 방법을 24가지 순서 전부에 대해 컴퓨터로 돌려 보았습니다. 매번 올바른 순서를 내놓았고, 8가지 경우에는 4번, 나머지 16가지 경우에는 5번에 끝나 결코 5번을 넘지 않았습니다. 끝으로 구슬 하나 대 하나로 재는 모든 전략을 컴퓨터로 남김없이 뒤져 본 결과, 어떤 4번짜리 전략도 항상 성공할 수는 없고 5번짜리 전략은 가능하다는 것이 확인되었습니다.
핵심 정리
저울질 한 번은 예·아니오 대답 하나예요. 그러니 횟수를 세기 전에 대답의 가짓수를 세어 보세요. 대답 4개로는 줄 세우기를 16가지밖에 못 가리는데, 가려낼 것은 24가지랍니다!
- 가려내야 할 순서가 모두 몇 가지인지 세기
- 저울 한 번이 알려 주는 정보의 양
- 4번으로는 결코 안 되는 이유
- 방법 만들기 1단계: 구슬 셋을 많아야 3번에 줄 세우기
- 방법 만들기 2단계: 넷째 구슬을 딱 2번 더로 끼워 넣기
- 왜 끝이 아니라 가운데 구슬과 견주는가
- 사슬처럼 잇기가 아껴 준 횟수 확인하기
- 합쳐 보고 아래끝과 맞춰 보기
이어서 풀어볼까요