문제
점대칭도형을 합동인 도형으로 나누기
가로 3칸·세로 2칸 직사각형 둘이 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 놓여 가운데 2칸에서 겹쳐 10칸짜리 도형을 이룹니다. 안쪽 모눈 선은 모두 점선입니다. 점선을 따라 한 번 잘라 두 조각으로 나눕니다. 두 조각이 합동이 되는 자르는 방법을 모두 구합니다.
사고력 · 초5-2 대칭인 도형의 활용
내 답
조심 곧게만 잘라야 할 것 같지만 꺾인 선으로도 합동인 두 조각이 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 이 문제를 여는 열쇠는 도형이 점대칭도형이라는 사실입니다. 대칭의 중심을 지나면서 반 바퀴 돌려도 그대로인 선을 그으면, 반 바퀴 돌리기가 두 조각을 서로 맞바꾸어 줍니다. 그러면 두 조각이 합동이라는 것이 곧바로 증명됩니다. 그러니 할 일은 훨씬 작은 문제로 줄어듭니다. 중심에서 출발해 테두리까지 나가는 길만 찾으면 되는데, 그런 반쪽 길 하나와 그것을 반 바퀴 돌린 길을 합치면 완전한 선 하나가 되기 때문입니다. 반쪽 길은 개수가 얼마 되지 않아 하나씩 빠짐없이 나열할 수 있습니다.
1STEP 1
모눈의 꼭짓점에 이름 붙이기
모눈의 꼭짓점에 이름을 붙입니다.
모눈 선에 번호를 붙이면 "저기 저 꼭짓점"이 적어 둘 수 있는 이름으로 바뀝니다. 그림만 잔뜩 그려 놓고 헷갈리는 대신 빠짐없는 목록을 만들 수 있는 것은 이 덕분입니다.
5.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
대칭의 중심 찾기
도형의 대칭의 중심을 찾습니다.
O = (2, 1.5)
O는 눈으로도 찾을 수 있습니다. 종이를 거꾸로 뒤집어 놓아도 도형이 똑같아 보이니, 그렇게 돌리려면 압정을 어디에 꽂아야 할지 생각해 보면 그 자리가 바로 중심입니다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships3STEP 3
O를 지나는 선이면 왜 합동인 두 조각이 되는가
그 점을 지나는 선이면 두 조각이 합동입니다.
O 를 중심으로 반 바퀴 돌리기: 조각 1 ⇔ 조각 2
이 문제에서 기억할 것은 이 한 가지입니다. 도형 전체는 그대로 두면서 두 조각만 맞바꾸는 반 바퀴 돌리기가 있다면, 그것만으로 두 조각이 합동이라는 증명이 끝납니다. 길이를 잴 필요가 없습니다.
8.G.A.2Visualize Spatial Relationships대칭의 중심을 지나는 어떤 자름이든 정확히 포개지는 두 조각을 만든다.
왜?
그 중심으로 반 바퀴 돌리면 도형 전체는 그대로 보이면서 두 조각이 서로 자리를 바꾸므로, 하나가 다른 하나에 정확히 포개진다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
그 돌리기는 한 조각의 각 점을 다른 조각의 점 하나로 정확히 보내므로, 어느 쪽에도 짝 없이 남는 것이 없다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
선의 절반만 찾으면 되도록 문제 줄이기
그러니 반쪽 길만 찾으면 됩니다.
(선의 가짓수) = (O 에서 위로 나가 테두리에 닿는 반쪽 길의 가짓수)
일을 절반으로 줄이는 이 방법은 색종이를 접어 눈꽃을 오리는 것과 같습니다. 한 조각만 디자인하면 대칭이 나머지를 알아서 복사해 줍니다.
3.G.A.2Identify Subproblems5STEP 5
O에서 나가는 반쪽 길 나열하기
중심에서 위로 나가는 길은 5가지입니다.
1 + 1 + 3 = 5
갈래마다 테두리에 닿을 때까지만 따라가고 거기서 멈추므로, 세는 일이 작은 나뭇가지 그림 하나로 끝납니다. 초등학생도 몇 분이면 차분히 해낼 수 있는 정도입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List6STEP 6
다섯 가지 선 그리기
다섯 가지 선을 그려 봅니다.
첫째: (2,0) - (2,3) 둘째: (0,1) - (2,1) - (2,2) - (4,2)
여기까지 오면 그리는 일은 기계적입니다. 찾은 반쪽을 그리고, 종이를 반 바퀴 돌린 뒤 똑같이 한 번 더 그리면 두 반쪽이 언제나 O에서 만납니다.
4.G.A.1Draw A Diagram7STEP 7
조각을 확인하고 다른 방법이 없는지 확인하기
조각마다 5칸씩으로 나뉩니다.
10 ÷ 2 = 5 (한 조각의 칸 수)
가장 빠른 점검은 칸 수 세기입니다. 그은 선의 양쪽이 5칸씩이 아니면 모양을 견주어 볼 것도 없이 그 선은 틀린 것입니다.
3.G.A.2Make A Systematic List정답
5 가지
10 ÷ 2 = 5
다섯 가지 모두 양쪽에 정사각형 5칸씩을 남깁니다. 10칸을 합동인 두 조각으로 나눌 때 가능한 유일한 배분이므로 넓이가 맞습니다. 다섯 선 모두 중심 O를 지나고, O를 중심으로 반 바퀴 돌려도 그대로이므로 그 돌리기가 한 조각을 다른 조각 위로 정확히 옮겨 놓습니다. 길이를 재지 않고도 합동임을 보인 셈입니다. 답이 작은 자연수인 것도 자연스럽습니다. O에서 출발한 길이 점선이 다하기 전에 테두리에 닿는 경로는 몇 가지 되지 않으니까요. 문제집에는 빈 도형이 6개 실려 있지만 답은 5가지입니다. 하나가 남는 것은 실수가 아니라 여유분으로 보아야 하며, 답의 개수가 칸 수보다 하나 적은 상황은 충분히 있을 수 있습니다. 10칸을 이어진 5칸씩 두 묶음으로 가르는 모든 경우를 훑어보아도 이 다섯 가지 말고는 나오지 않습니다.
핵심 정리
도형이 돌아가는 압정 자리를 찾고, 거기서 테두리까지 선의 절반만 그으세요. 나머지 절반은 반 바퀴 돌리기가 그려 줍니다. 그렇게 하면 방법은 딱 5가지입니다.
- 모눈의 꼭짓점에 이름 붙이기
- 대칭의 중심 찾기
- O를 지나는 선이면 왜 합동인 두 조각이 되는가
- 선의 절반만 찾으면 되도록 문제 줄이기
- O에서 나가는 반쪽 길 나열하기
- 다섯 가지 선 그리기
- 조각을 확인하고 다른 방법이 없는지 확인하기
이어서 풀어볼까요