문제
합동인 도형으로 나누기
크기가 같은 빈 정삼각형 여섯 개가 그려져 있습니다. 각 정삼각형 안에 곧은 선을 그어 자릅니다. 잘린 조각은 모두 서로 합동인 삼각형이어야 합니다. 2, 3, 4, 6, 8, 9조각으로 나누는 방법을 구합니다.
사고력 · 초5-2 도형의 합동
내 답
조심 넓이만 같으면 될 것 같지만 조각은 모양까지 똑같아야 합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 자르는 일이니 그려 보는 것이 먼저입니다. 서로 상관없는 문제 여섯 개로 여기는 대신, 정삼각형이 허락하는 자르기 방법이 두 가지뿐임을 먼저 찾습니다. 하나는 꼭짓점에서 마주 보는 변 위의 한 점으로 선을 긋는 것이고, 다른 하나는 세 변을 똑같이 나누어 그 점들을 가로질러 잇는 것입니다. 두 번째 방법에서는 규칙이 보입니다. 각 변을 똑같이 n등분하면 언제나 작은 정삼각형이 n × n개 생긴다는 규칙입니다. 이것으로 4개와 9개가 한꺼번에 해결됩니다. 남은 2개, 3개, 6개, 8개는 이미 만든 더 쉬운 자르기에서 나옵니다. 6개는 3개짜리를 한 번 더 반으로, 8개는 4개짜리를 한 번 더 반으로 자른 것입니다.
1STEP 1
자르는 방법 두 가지 찾기
쓸 수 있는 것은 중점 잇기와 가운데에서 긋기뿐입니다.
두 방법에 먼저 이름을 붙여 두면, 따로 노는 그리기 문제 여섯 개가 익숙한 두 가지 중 무엇을 고를지의 문제로 바뀝니다. 머릿속에 담아 둘 것이 훨씬 줄어듭니다.
3.G.A.2Draw A Diagram자르는 방법 두 가지가 모든 경우를 만든다 — 중선으로 반 자르기와 중점을 이어 넷으로 나누기다.
왜?
두 방법 모두 삼각형을 크기가 모두 같은 조각으로 자르며, 그것이 바로 똑같이 나눈다는 뜻이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
조각들은 빈틈도 겹침도 없이 삼각형을 채우므로, 모든 조각에 같은 방법을 적용해도 전체가 덮인 채로 남는다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
(1) 2개로 나누기
꼭짓점에서 밑변 중점으로 그으면 2조각입니다.
밑변의 반 = 밑변의 반, 옆변 = 옆변, 자른 선 = 자른 선
위 꼭짓점에서 내려긋는 이 선은 정삼각형 자신의 대칭축입니다. 그러니 두 조각은 맞을 수밖에 없고, 뒤집어서 겹쳐지는 것도 엄연히 합동입니다.
3.G.A.2Draw A Diagram3STEP 3
(2) 3개로 나누기
가운데에서 세 꼭짓점으로 그으면 3조각입니다.
360° ÷ 3 = 120°
한 점을 둘러싼 각을 다 모으면 한 바퀴가 됩니다. 그러니 한가운데의 세 각이 같다면 하나가 120°이고, 이것이 바로 한 조각을 옆 조각으로 옮겨 놓는 회전의 크기입니다.
4.MD.C.7Draw A Diagram4STEP 4
(3) 4개로 나누기
세 중점을 이으면 4조각입니다.
2 × 2 = 4
모든 변을 반으로 줄이면 작은 삼각형의 변도 모두 반이 됩니다. 그리고 변의 길이가 같은 정삼각형끼리는 저절로 모양도 크기도 같습니다.
3.G.A.2Look For A Pattern5STEP 5
(6) 9개로 나누기 — 같은 규칙을 한 걸음 더
각 변을 3등분해 이으면 9조각입니다.
3 × 3 = 9, 6 + 3 = 9
반으로 나누어 4 = 2 × 2를 한 번 보고 나면, 삼등분한 같은 그림에서 3 × 3 = 9가 나오는 것이 자연스럽습니다. 거꾸로 선 조각들은 바로 선 조각을 반 바퀴 돌려 놓은 것일 뿐입니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern6STEP 6
(4) 6개로 나누기 — 3개짜리를 두 배로
3조각을 다시 반씩 자르면 6조각입니다.
3 × 2 = 6
서로 똑같은 세 조각을 똑같은 방식으로 반씩 자르면 그 반쪽들도 서로 똑같습니다. 새로운 자르기를 궁리하는 것보다 이미 얻은 답을 두 배로 늘리는 편이 훨씬 쉽습니다.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem7STEP 7
(5) 8개로 나누기 — 4개짜리를 두 배로
4조각을 다시 반씩 자르면 8조각입니다.
4 × 2 = 8
여덟 조각이 하나같이 똑같은 작은 삼각형에서 똑같은 방법으로 만들어졌으니, 새로 재어 볼 것도 없이 모두 같은 모양으로 나옵니다.
3.OA.A.3Solve An Easier Related Problem8STEP 8
여섯 가지 자르기 모두 확인하기
여섯 가지가 모두 합동인 조각으로 나뉩니다.
2, 3, 4, 6, 8, 9
합동인 조각은 넓이도 같아야 합니다. 그러니 조각 수를 세고 그것들이 삼각형을 빈틈없이 채우는지 살펴보는 것만으로 잘못된 자르기를 빠르게 걸러낼 수 있습니다.
3.G.A.2Draw A Diagram정답
2, 3, 4, 6, 8, 9 조각
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9
어느 자르기에서나 조각들의 넓이가 같으므로 조각 하나는 정확히 전체의 1/n이어야 합니다. 2, 3, 4, 6, 8, 9 모두 삼각형 전체를 남김없이 나눈 결과이므로 이 검사를 통과합니다. 조각 수들이 한 가족을 이루는 것도 이치에 맞습니다. 4와 9는 변을 2등분, 3등분해서 얻은 2 × 2와 3 × 3이고, 2는 대칭축으로 한 번 자른 것이며, 6은 3을 두 배로, 8은 4를 두 배로 한 것입니다. 그려 낸 조각은 모두 삼각형이라는 조건에 맞고, 그림마다 조각들이 대칭으로 만들어졌거나 똑같은 조각을 똑같이 반으로 잘라 만들어졌으므로 변의 길이가 실제로 서로 같습니다.
핵심 정리
통하는 자르기를 하나 찾았으면 그것을 다시 반으로 잘라 보세요. 2개가 4개가 되고 4개가 8개가 되며, 3개가 6개가 됩니다. 새로 궁리할 것이 없습니다!
- 자르는 방법 두 가지 찾기
- (1) 2개로 나누기
- (2) 3개로 나누기
- (3) 4개로 나누기
- (6) 9개로 나누기 — 같은 규칙을 한 걸음 더
- (4) 6개로 나누기 — 3개짜리를 두 배로
- (5) 8개로 나누기 — 4개짜리를 두 배로
- 여섯 가지 자르기 모두 확인하기