문제
삼각형의 합동
세 변이 3.5 cm, 4.5 cm, 2.3 cm이고 세 각이 30도, 50도, 100도인 삼각형이 있습니다. 30도와 50도는 4.5 cm인 변의 양 끝 각입니다. 그 삼각형을 설명하는 다섯 가지 문장이 있습니다. 삼각형을 하나로 정하는 설명을 모두 고릅니다.
사고력 · 초5-2 도형의 합동
내 답
조심 부분을 많이 알려 줄수록 좋을 것 같지만 각만 셋이면 크기가 정해지지 않습니다.
풀이 과정
전략 가능성 지우기 — 후보가 ①부터 ⑤까지 딱 다섯 개뿐입니다. 이렇게 개수가 정해진 목록이라면 하나씩 붙들고 남길지 지울지를 판정해 나가면 됩니다. 다만 판정을 제대로 하려면 먼저 그림에서 어느 부분이 어느 부분과 이웃해 있는지를 빠짐없이 적어 두어야 합니다. 30°인 각이 4.5 cm와 3.5 cm 사이에 있다는 식으로 말입니다. 삼각형이 하나로 정해지는지는 길이와 각의 값만이 아니라 그것들이 놓인 자리에 달려 있기 때문입니다. 그러고 나서 조건이 헐거워 보이면 그 조건은 만족하면서 그림과 확실히 다른 삼각형을 실제로 하나 그려 봅니다. 그런 그림이 한 개만 나와도 그 조건은 그 자리에서 지워집니다.
1STEP 1
어느 부분이 어느 부분 옆에 있는지 적어 두기
어느 부분이 어디에 붙어 있는지 적어 둡니다.
30° + 50° + 100° = 180°
삼각형의 세 각의 합은 언제나 180°입니다. 조건을 따지기 전에 이 덧셈 한 번으로 그림을 잘못 읽지 않았는지 먼저 확인해 두는 것입니다.
8.G.A.5Make A Systematic List2STEP 2
삼각형을 하나로 못 박는 조건은 무엇인가
삼각형을 못 박으려면 변이 적어도 하나 필요합니다.
세 묶음은 사실 작도 설명서입니다. 아는 변을 먼저 놓고 나면 나머지는 선택의 여지가 없어진다는 뜻이고, '반드시 합동'이라는 말이 바로 그것입니다.
7.G.A.2Make A Systematic List어떤 설명이 삼각형을 확정한다는 것은, 그 설명에 맞는 두 삼각형을 정확히 포갤 수 있다는 뜻일 때뿐이다.
왜?
밀기와 돌리기와 뒤집기는 모든 길이와 각을 지키므로, 두 삼각형이 같다는 것은 그런 움직임 하나가 하나를 다른 하나로 옮긴다는 뜻이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
세 각만으로는 삼각형을 확정할 수 없는데, 삼각형의 크기가 어떻든 각의 합은 이미 평각 하나이기 때문이다.
🧱삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
3STEP 3
① 두 변만 주어졌다 — 지웁니다
①은 두 변뿐이라 지웁니다.
30° → 2.3 cm, 90° → 5.7 cm
한쪽 끝을 이어 붙인 막대 두 개는 부챗살처럼 자유롭게 벌어집니다. 활짝 벌린 모양을 한 번만 그려 보이면 이 조건은 그대로 탈락입니다.
7.G.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
② 두 변과 그 끼인각 — 남깁니다
②는 두 변과 끼인각이라 남깁니다.
3.5 cm, 30°, 4.5 cm → 나머지 변 2.3 cm
'끼인'이라는 말 한 마디가 모든 일을 합니다. 마음대로 벌어지는 경첩과 30°에서 잠긴 경첩의 차이니까요.
7.G.A.2Eliminate Possibilities5STEP 5
③ 세 변 — 남깁니다
③은 세 변이라 남깁니다.
3.5 cm, 4.5 cm, 2.3 cm
막대 세 개로 만든 삼각형은 단단해서 찌그러지지 않습니다. 네 변짜리 틀은 눌리면 기울어지지만 삼각형은 그렇지 않으니, 세 변의 길이만으로 자유가 하나도 남지 않습니다.
7.G.A.2Eliminate Possibilities6STEP 6
④ 세 각만 주어졌다 — 지웁니다
④는 세 각뿐이라 지웁니다.
4.5 × 2 = 9, 3.5 × 2 = 7, 2.3 × 2 = 4.6 cm
각이 같다는 것은 모양이 같다는 것까지만 보장합니다. 복사기로 200% 확대한 그림도 각은 그대로이지요. 그래서 크기를 알려 주는 길이가 어딘가에는 반드시 있어야 합니다.
8.G.A.5Eliminate Possibilities7STEP 7
⑤ 한 변과 그 양 끝 각 — 남깁니다
⑤는 한 변과 양 끝 각이라 남깁니다.
30°, 4.5 cm, 50° → 나머지 두 변 3.5 cm, 2.3 cm
길이가 정해진 밑변의 두 끝에서 정해진 각도로 곧게 뻗은 두 선은 딱 한 점에서 만납니다. 그러니 그림이 다르게 나올 방법이 없습니다.
7.G.A.2Draw A Diagram8STEP 8
살아남은 것 모으기
살아남은 것은 ②, ③, ⑤입니다.
{②, ③, ⑤}
다섯 개를 하나씩 이유를 대며 남기거나 지웠으니 더 살펴볼 것이 남지 않았습니다. 개수가 정해진 목록을 끝까지 훑었다는 뜻입니다.
7.G.A.2Eliminate Possibilities정답
②, ③, ⑤
지운 두 조건은 흔히 걸려 넘어지는 바로 그 두 함정이고, 둘 다 느낌이 아니라 실제 삼각형을 하나 더 그려서 지웠습니다. ①은 벌어진 각을 90°로 열어 나머지 변을 약 2.3 cm에서 약 5.7 cm까지 늘려 보였고, ④는 세 각을 그대로 두고 세 변만 9 cm, 7 cm, 4.6 cm로 두 배 늘려 보였습니다. 남긴 세 조건은 그림과 부분 하나하나가 맞아떨어집니다. ②의 30°는 그림에서도 4.5 cm와 3.5 cm 사이에 실제로 끼어 있고, ③은 세 변의 길이를 그대로 쓰며, ⑤의 30°와 50°는 4.5 cm인 그 변의 양 끝에 붙어 있습니다. 셋 중 어느 것으로 다시 그려도 세 변이 4.5 cm, 3.5 cm, 2.3 cm이고 세 각이 30°, 50°, 100°인 그림의 삼각형이 나옵니다.
핵심 정리
세 변, 또는 두 변과 그 사이에 낀 각, 또는 한 변과 그 양 끝 각. 이 셋 중 하나에 못 미치면 삼각형은 아직 마음대로 바뀔 수 있습니다.
- 어느 부분이 어느 부분 옆에 있는지 적어 두기
- 삼각형을 하나로 못 박는 조건은 무엇인가
- ① 두 변만 주어졌다 — 지웁니다
- ② 두 변과 그 끼인각 — 남깁니다
- ③ 세 변 — 남깁니다
- ④ 세 각만 주어졌다 — 지웁니다
- ⑤ 한 변과 그 양 끝 각 — 남깁니다
- 살아남은 것 모으기
이어서 풀어볼까요