문제
합동인 삼각형의 넓이 이용하기
한 변이 6 cm인 정사각형 ㄱㄴㄷㄹ이 있습니다. 위쪽 변 위의 점 ㅅ과 ㄷ을 이어 그 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 바깥쪽에 세웁니다. ㄹ과 새 꼭짓점을 이어 삼각형을 만듭니다. 색칠한 삼각형의 넓이를 구합니다.
사고력 · 초5-2 도형의 합동
내 답
조심 점 ㅅ의 자리를 알아야 할 것 같지만 넓이는 어디에 두어도 같습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 색칠한 삼각형 ㄹㄷㅁ은 길이를 잴 수 있는 변이 하나도 없어서 정면으로 덤벼서는 답이 나오지 않습니다. 그래서 보는 쪽을 바꿉니다. 그림 안 어딘가에 이 삼각형과 모양도 크기도 같으면서 길이를 잴 수 있는 다른 삼각형이 없는지 찾는 것입니다. 꼭짓점 ㄷ은 두 정사각형이 모두 모퉁이를 대고 있는 그림 전체의 돌쩌귀이므로, 그림을 점 ㄷ을 중심으로 90° 돌려 보고 무엇이 어디로 가는지 지켜봅니다. 삼각형 ㄴㅅㄷ을 투명 종이에 대고 그린 다음 점 ㄷ에 핀을 꽂아 90° 돌려 보면 핵심이 한눈에 보입니다. 두 삼각형이 포개진다는 것만 알면 그다음에는 쉬운 쪽 삼각형의 밑변과 높이만 재면 됩니다. 마지막으로 점 ㅅ을 변 ㄱㄹ 위 이곳저곳에 놓아 보면 답이 정말로 점 ㅅ의 자리와 상관없다는 것도 확인됩니다.
1STEP 1
색칠한 삼각형의 쌍둥이를 찾기
정사각형 덕분에 길이가 같은 변이 두 쌍 생깁니다.
(변 ㄷㄴ) = (변 ㄷㄹ) = 6 cm, (변 ㄷㅅ) = (변 ㄷㅁ)
정사각형은 길이가 같은 변을 공짜로 줍니다. 정사각형 두 개가 한 꼭짓점을 함께 쓰고 있다면 그 꼭짓점이 바로 같은 길이가 잔뜩 모이는 자리이니, 포개지는 삼각형을 찾을 때 가장 먼저 들여다볼 곳입니다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement2STEP 2
꼭짓점 ㄷ에 있는 두 각이 같음을 보이기
꼭짓점 ㄷ의 두 각도 서로 같습니다.
(각 ㄴㄷㅅ) = 90° - (각 ㅅㄷㄹ) = (각 ㄹㄷㅁ)
같은 직각을 같은 셋째 각과 나누어 채우고 있는 두 각은 크기가 같을 수밖에 없습니다. 그 각들이 각각 몇 도인지는 끝까지 알 필요가 없는데, 그림이 애초에 알려 주지도 않으니 바로 그 점이 이 문제의 핵심입니다.
7.G.B.5Draw A Diagram3STEP 3
삼각형 ㄴㅅㄷ을 점 ㄷ을 중심으로 90° 돌리기
90도 돌리면 색칠한 삼각형이 쌍둥이와 겹칩니다.
(삼각형 ㄴㅅㄷ) → (삼각형 ㄹㄷㅁ) → (두 삼각형의 넓이가 같다)
도형을 돌리면 자리만 바뀌고 도형 자체는 그대로이니 넓이도 따라옵니다. 재기 어려운 도형을 그 도형이 돌아온 자리의 도형과 바꿔치기해도 되는 까닭이 이것입니다.
8.G.A.2Create A Physical Representation삼각형 BGC를 C를 중심으로 4분의 1바퀴 돌리면 재기 훨씬 쉬운 삼각형에 내려앉는다.
왜?
돌리기는 삼각형을 자기 복사본 위에 포개므로, 넓이가 조금도 변하지 않고 그대로 따라간다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
4분의 1바퀴는 C에서 두 정사각형의 변이 이루는 각과 정확히 같으며, 그래서 옮긴 삼각형이 그토록 깔끔히 맞아떨어진다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
4STEP 4
쉬운 쪽 삼각형을 대신 재기
쉬운 쪽 삼각형의 넓이는 18 cm²입니다.
(삼각형 ㄴㅅㄷ의 넓이) = 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm²
삼각형의 높이는 비스듬한 변을 따라가는 길이가 아니라 밑변까지 곧게 가로지른 거리입니다. 여기서는 정사각형의 마주 보는 두 변 ㄴㄷ과 ㄱㄹ이 어디서나 6 cm 떨어져 있으므로, 아무것도 재지 않고도 높이가 6 cm임을 알 수 있습니다.
6.G.A.1Draw A Diagram5STEP 5
점 ㅅ의 자리가 정말 상관없는지 확인하기
점 ㅅ을 옮겨도 넓이는 그대로입니다.
(삼각형 ㄴㅅㄷ의 넓이) = 1/2 × 6 × 6 = 18 cm² (변 ㄱㄹ 위의 모든 점 ㅅ에 대하여)
양쪽 끝의 두 자리를 시험해 보는 것은 값싼 안전망입니다. 답이 움직일 것이었다면 점 ㅅ을 꼭짓점까지 끝까지 밀어 놓은 순간 곧바로 드러났을 테니까요.
6.G.A.1Solve An Easier Related Problem6STEP 6
그려진 그림에서 곧바로 확인하기
그러므로 색칠한 넓이는 18 cm²입니다.
(삼각형 ㄹㄷㅁ의 넓이) = 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm²
90° 돌리기가 이 확인을 가능하게 만든 장본인입니다. 점 ㄷ에서 위로 6, 옆으로 3인 점을 옆으로 6, 아래로 3인 점으로 보내면서 두 수를 맞바꾸어 주니, 원래 삼각형의 밑변이 새 삼각형의 높이가 되는 것입니다.
6.G.A.1Draw A Diagram정답
18 cm²
6 × 6 ÷ 2 = 18
단위가 맞습니다. 센티미터로 잰 길이 둘을 곱하고 2로 나누었으니 제곱센티미터가 나옵니다. 크기도 알맞습니다. 정사각형 ㄱㄴㄷㄹ 전체의 넓이가 6 × 6 = 36 cm²인데 색칠한 삼각형은 그 절반인 18 cm²로 나왔습니다. 정사각형의 한 변 6 cm를 밑변으로 삼고 거기서 6 cm만큼 떨어진 곳까지 뻗은 삼각형이라면 마땅히 그 정도여야 합니다. 그림에서도 색칠한 삼각형은 정사각형의 1/4보다는 확실히 크고 정사각형 전체보다는 확실히 작으니 18 cm²가 있어야 할 자리에 있습니다. 무엇보다 든든한 확인은 이 문제가 진짜로 묻고 있는 그것입니다. 답을 구하는 동안 선분 ㅅㄷ의 길이도, 점 ㅅ의 자리도 한 번도 쓰지 않았습니다. 문제가 그 둘을 알려 주지 않아도 되는 까닭이 바로 여기에 있습니다.
핵심 정리
잴 수 없는 도형이 나오면 잴 수 있는 도형을 그 위로 돌려 놓으세요. 두 정사각형이 맞대고 있는 꼭짓점 ㄷ을 중심으로 90° 돌리면 삼각형 ㄴㅅㄷ이 색칠한 삼각형에 딱 포개지고, 돌리기는 넓이를 바꾸지 않습니다.
- 색칠한 삼각형의 쌍둥이를 찾기
- 꼭짓점 ㄷ에 있는 두 각이 같음을 보이기
- 삼각형 ㄴㅅㄷ을 점 ㄷ을 중심으로 90° 돌리기
- 쉬운 쪽 삼각형을 대신 재기
- 점 ㅅ의 자리가 정말 상관없는지 확인하기
- 그려진 그림에서 곧바로 확인하기
이어서 풀어볼까요