문제
변형하기
큰 정사각형 안에 원이 네 변에 모두 닿게 들어가 있습니다. 그 원 안에 작은 정사각형이 네 꼭짓점을 원 위에 얹고 있습니다. 색칠된 작은 정사각형의 넓이는 8 cm²입니다. 큰 정사각형의 넓이를 구합니다.
사고력 · 초5-1 등적변형 (1)
내 답
조심 원의 반지름을 구해야 할 것 같지만 돌려 놓기만 하면 원 없이 풀립니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 색칠한 정사각형은 어정쩡한 자리에 놓여 있습니다. 원 안에 들어앉아 있을 뿐, 큰 정사각형과 맞춰 볼 만한 데가 하나도 없습니다. 그런데 넓이는 도형이 어디에 있든 상관하지 않습니다. 오려 내서 45도만 돌려도 여전히 8 cm²를 덮습니다. 중심을 잡고 45도 돌리면 네 꼭짓점이 원과 큰 정사각형이 맞닿는 네 점, 곧 큰 정사각형의 네 변의 중점으로 옮겨 갑니다. 이 자리에서는 두 정사각형이 중심을 같이 쓰게 되고, 그림이 똑같은 삼각형들로 깔끔하게 갈라져서 그냥 세기만 하면 됩니다. 편한 자리로 옮겨 놓고 조각을 센다는 이 생각이 바로 이 단원에서 다루는 넓이가 변하지 않는 옮기기입니다.
1STEP 1
원이 각 변의 한가운데에 닿는다는 것 알아내기
원은 각 변의 한가운데에 닿습니다.
(원의 지름) = (큰 정사각형의 한 변)
정사각형에는 중심을 지나는 대칭축이 네 개 있고, 그 축은 변을 정확히 반으로 가릅니다. 빈틈없이 들어간 원이 닿을 수 있는 곳은 그 자리뿐입니다.
4.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
색칠한 정사각형을 중심 둘레로 45도 돌리기
작은 정사각형을 45도 돌려 놓습니다.
(돌린 뒤의 넓이) = (돌리기 전의 넓이) = 8 cm²
이 문제 전체가 이 한 가지 사실 위에 얹혀 있습니다. 회전은 도형을 늘이지도 찌그러뜨리지도 않고 자리만 바꾸므로 길이도 넓이도 그대로입니다. 종이에 정사각형을 본떠서 빙 돌려 보면 바로 확인할 수 있습니다.
8.G.A.1Create A Physical Representation색칠된 정사각형을 중심으로 45도 돌리면 넓이는 그대로인 채 큰 정사각형과 나란히 맞아떨어진다.
왜?
돌리기는 정사각형을 자기 복사본 위에 포개므로, 모든 변이 길이를 지키고 넓이도 그대로 따라간다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
새 자리에서 색칠된 정사각형은 큰 정사각형이 갈라지는 똑같은 삼각형 몇 개와 정확히 같으므로, 그 개수를 세면 넓이가 나온다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
큰 정사각형을 똑같은 삼각형 8개로 쪼개기
큰 정사각형을 똑같은 삼각형 8개로 쪼갭니다.
(작은 정사각형 4개) × 2 = (똑같은 직각삼각형 8개)
도형을 똑같은 조각들의 모임으로 바꿔 놓으면 넓이를 구하는 문제가 개수를 세는 문제로 바뀝니다. 게다가 정사각형의 대각선은 언제나 그 정사각형을 똑같은 두 조각으로 나눕니다.
6.G.A.1Identify Subproblems4STEP 4
색칠한 정사각형이 삼각형 몇 개를 덮는지 세기
돌려 놓은 작은 정사각형은 그중 4개를 덮습니다.
4/8=1/2
겹치지 않는 조각들의 넓이는 그냥 더해집니다. 똑같은 조각 8개가 큰 정사각형이고 그중 4개가 색칠한 정사각형이라면, 길이를 하나도 재지 않고도 색칠한 쪽이 절반이라는 것을 알 수 있습니다.
3.MD.C.7Visualize Spatial Relationships5STEP 5
색칠한 넓이를 두 배 하기
그러니 큰 정사각형은 8 × 2 = 16입니다.
8 × 2 = 16 (cm²)
그림이 큰 것은 작은 것 두 개라고 말해 주고 나면, 남는 계산은 두 배 하기 하나뿐입니다. 3학년도 바로 할 수 있는 셈입니다.
6.G.A.1Identify Subproblems정답
16 cm²
8 × 2 = 16
답의 단위가 넓이 단위인 cm²로 나왔고, 크기도 색칠한 정사각형의 8 cm²보다 큽니다. 색칠한 정사각형이 큰 정사각형 안에 완전히 들어 있으니 반드시 그래야 합니다. 몇 배쯤 커졌는지도 그럴듯합니다. 원이 큰 정사각형의 대부분을 채우고 색칠한 정사각형이 다시 원의 상당 부분을 채우고 있으니, 10배가 아니라 딱 2배라는 것이 자연스럽습니다. 좌표로 따져 봐도 같은 답이 나옵니다. 큰 정사각형을 (0,0)부터 (4,4)까지로 두면 넓이가 16이고, 원은 중심이 (2,2), 반지름이 2입니다. 변이 가로세로와 나란한 내접 정사각형의 꼭짓점은 (2-√(2), 2-√(2)) 같은 자리에 오므로 한 변이 2√(2), 넓이가 8입니다. 16의 정확히 절반입니다.
핵심 정리
색칠한 정사각형을 45도만 돌려 보세요. 넓이는 그대로인데, 큰 정사각형이 그것의 딱 두 개라는 사실이 눈에 들어오는 자리로 옮겨 갑니다.
- 원이 각 변의 한가운데에 닿는다는 것 알아내기
- 색칠한 정사각형을 중심 둘레로 45도 돌리기
- 큰 정사각형을 똑같은 삼각형 8개로 쪼개기
- 색칠한 정사각형이 삼각형 몇 개를 덮는지 세기
- 색칠한 넓이를 두 배 하기
이어서 풀어볼까요