문제
한 줄의 합의 최대·최소
별 모양에 원이 11개 있고 가운데에서 다섯 방향으로 선분이 뻗습니다. 선분마다 가운데를 포함해 원이 3개씩 놓입니다. 1부터 11까지를 한 번씩 써넣습니다. 다섯 선분의 합이 같아지는 방법을 모두 구합니다.
사고력 · 초5-2 마방진의 기초
내 답
조심 66을 다섯으로 나누고 싶지만 가운데 수가 다섯 번 세어져 그대로는 나누어지지 않습니다.
풀이 과정
전략 관점 바꾸기 — 원을 하나씩 채워 가며 다섯 합이 우연히 맞아떨어지기를 기다리면 지우개만 닳습니다. 지름길은 보는 대상을 바꾸는 것입니다. 선분 하나를 보는 대신 다섯 선분의 합을 한꺼번에 더해 보세요. 그러면 바깥쪽 수는 한 번씩만 세어지지만 가운데 수는 다섯 선분에 모두 있으므로 다섯 번 세어집니다. 이 한 가지 사실이 선분의 합과 가운데 수를 묶어 주어, 문제가 '가운데에 올 수 있는 수는 무엇인가'라는 질문 하나로 줄어듭니다. 그다음은 후보가 몇 개 되지 않으니 차례로 적어 확인하면 되고(도구 2, 도구 6), 가운데 수가 정해지면 남은 열 개의 수를 합이 같은 두 개씩 짝지어 주기만 하면 됩니다. 별을 그리고 다섯 선분에 이름을 붙여 두면(도구 1) 짝짓기에서 실수하지 않습니다.
1STEP 1
다섯 선분의 합을 한꺼번에 더하기
1부터 11까지의 합은 66입니다.
1+2+…+11 = 66
선분을 하나씩 보지 않고 다섯 개를 한꺼번에 보면 가운데 원의 특별한 역할이 드러납니다. 여러 번 세어지는 수는 오직 가운데 수뿐입니다.
4.NBT.B.4Change Focus Count The Complement다섯 줄의 합을 한꺼번에 더하면 가운데 수는 다섯 번, 팔에 있는 수는 한 번씩 세어진다.
왜?
가운데는 모든 줄에 놓여 있으므로 각 줄에서 한 번씩 세어지지만, 팔에 있는 수는 한 줄에만 속한다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
따라서 합친 총합은 모든 수에 가운데 수 네 개를 더 얹은 것이므로, 가운데를 깔끔히 떼어 낼 수 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
가운데 수를 시험하는 조건으로 바꾸기
다섯 선분을 더하면 가운데가 네 번 더 들어갑니다.
66 + 4 × 1 = 70, 66 + 4 × 6 = 90, 66 + 4 × 11 = 110
가운데에 올 수 있는 수는 열한 개뿐이니, 열한 개를 모두 적어 놓고 일의 자리가 0 또는 5인 것만 골라내면 끝납니다. 기발한 생각이 아니라 빠짐없이 세기의 힘입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
세 가지 선분의 합 읽어 내기
5로 나누어떨어지는 건 1, 6, 11뿐이고 한 줄의 합은 14, 18, 22입니다.
70 ÷ 5 = 14, 90 ÷ 5 = 18, 110 ÷ 5 = 22
합이 서로 다른 세 가지를 찾으라고 했는데 계산이 정확히 세 가지를 내놓았습니다. 생각의 방향이 맞았다는 좋은 신호입니다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement4STEP 4
선분마다 무엇을 해야 하는지 알아보기
가운데 수를 빼면 팔 하나의 바깥 두 수는 13, 12, 11을 만들어야 합니다.
14 - 1 = 13, 18 - 6 = 12, 22 - 11 = 11
가운데 수가 정해지는 순간 다섯 선분은 서로 간섭하지 않게 됩니다. 선분 하나하나가 '합이 얼마인 두 수 찾기'라는 작은 문제로 떨어져 나옵니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram5STEP 5
가운데가 1인 방법 만들기
가운데가 1이면 나머지를 합이 13인 짝으로 묶습니다.
2+11 = 3+10 = 4+9 = 5+8 = 6+7 = 13, 1 + 13 = 14
차례로 늘어선 열 개의 수는 양 끝에서부터 안으로 접으면 딱 맞습니다. 한쪽이 1 커지면 짝이 1 작아져 합이 그대로이기 때문입니다.
2.OA.B.2Guess And Check6STEP 6
가운데가 6인 방법과 11인 방법 만들기
가운데가 6이나 11일 때도 짝을 지을 수 있습니다.
6 + 12 = 18, 11 + 11 = 22
언제나 같은 방식으로 작은 수와 큰 수를 짝지으면 됩니다. 1부터 11까지에서 가운데 수 하나를 빼면 남은 열 개가 언제나 반듯하게 접히기 때문입니다.
2.OA.B.2Guess And Check7STEP 7
열다섯 개의 선분 모두 확인하기
그래서 방법은 세 가지입니다.
덧셈 열다섯 번이면 검산이 끝납니다. 하나도 빠뜨리지 않고 다 해 보면 같은 수를 두 선분에 잘못 쓰는 흔한 실수를 잡아낼 수 있습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
1, 6, 11
14, 18, 22
크기부터 살펴봅니다. 가장 작은 세 수의 합은 1+2+3 = 6이고 가장 큰 세 수의 합은 9+10+11 = 30이므로, 어떤 선분이든 합은 6과 30 사이여야 합니다. 구한 14, 18, 22는 그 안에 넉넉히 들어가고 4씩 고르게 벌어져 있습니다. 가운데 수가 1 → 6 → 11로 5씩 커지고 그 늘어난 몫 4 × 5 = 20이 선분 다섯 개에 나뉘어 실리므로 선분마다 4씩 커지는 것이니, 이 간격도 이치에 맞습니다. 또 1부터 11까지의 평균이 6이므로 원 세 개짜리 선분의 합은 대략 3 × 6 = 18쯤이어야 하는데, 18이 바로 가운데 답입니다. 여기 나오는 수는 길이나 무게가 아니라 이름표이므로 단위는 따지지 않습니다. 끝으로 이 풀이는 세 가지를 찾아낸 것이 아니라 세 가지뿐임을 보였으므로, 놓친 네 번째 합은 존재하지 않습니다.
핵심 정리
다섯 선분을 한꺼번에 더해 보세요. 가운데 수만 다섯 번 세어지므로, 가운데 원 하나가 선분의 합을 결정합니다. 그리고 거기에 올 수 있는 수는 1, 6, 11뿐입니다.
- 다섯 선분의 합을 한꺼번에 더하기
- 가운데 수를 시험하는 조건으로 바꾸기
- 세 가지 선분의 합 읽어 내기
- 선분마다 무엇을 해야 하는지 알아보기
- 가운데가 1인 방법 만들기
- 가운데가 6인 방법과 11인 방법 만들기
- 열다섯 개의 선분 모두 확인하기
이어서 풀어볼까요