문제
평균의 이동
지금까지 본 수학 시험 7번의 평균은 80점입니다. 시험을 한 번 더 보면 모두 8번이 됩니다. 8번 전체의 평균이 지금보다 2점 높아야 합니다. 여덟 번째 시험의 점수를 구합니다.
사고력 · 초5-2 평균
내 답
조심 82점만 받으면 될 것 같지만 앞의 일곱 번도 함께 올려야 해서 더 받아야 합니다.
풀이 과정
전략 거꾸로 풀기 — 문제는 다 끝난 상태, 즉 8번 평균 82점을 먼저 알려 주고 그것을 만들어 낸 재료를 묻습니다. 거꾸로 풀기가 딱 맞는 상황입니다. 평균끼리는 더하거나 뺄 수 없지만 평균 뒤에 숨은 총합은 얼마든지 더하고 뺄 수 있으므로, 평균을 모두 총합으로 바꿉니다. 지난 7번의 합은 80×7이어야 하고 8번 전체의 합은 82×8이어야 하니, 새 점수는 두 총합의 차입니다. 그다음에는 여덟 개의 점수를 막대로 그려 82에서 고르게 깎고 채워 봅니다. 같은 답이 다른 쪽에서 보입니다. 새 점수는 자기 자리인 82를 채우는 동시에, 앞선 7번이 82에 닿는 데 필요한 2점씩을 나누어 주어야 합니다. 마지막으로 96 주변의 점수 몇 개를 목표 평균에 대어 보면 96뿐이라는 것이 확인됩니다.
1STEP 1
지난 평균을 총합으로 되돌리기
지난 일곱 번의 총점은 560점입니다.
80 × 7 = 560
평균은 자료 전체를 대신하는 수 하나이므로, 개수를 도로 곱하면 평균이 숨기고 있던 진짜 총합이 되살아납니다.
6.SP.A.3Work Backwards2STEP 2
8번이 도달해야 할 총합 구하기
여덟 번이 도달해야 할 총점은 656점입니다.
80+2 = 82, 82 × 8 = 656
목표 평균을 총합으로 거꾸로 읽으면, 똑같이 나누는 이야기가 그냥 합을 구하는 이야기로 바뀌어 훨씬 다루기 쉬워집니다.
6.SP.B.5Work Backwards3STEP 3
빼서 새 점수 찾기
빼면 새 점수는 96점입니다.
656 - 560 = 96
두 평균을 모두 총합으로 적고 나면 모르는 점수는 두 총합 사이의 빈 자리일 뿐입니다. 뺄셈 한 번이면 되고 평균 계산은 더 이상 필요 없습니다.
4.OA.A.3Work Backwards4STEP 4
막대를 고르게 맞추는 그림으로 보기
82에 앞의 일곱을 올릴 14점을 더한 셈입니다.
2 × 7 = 14, 82 + 14 = 96
막대를 고르게 맞추는 그림을 보면 새 점수가 왜 목표 평균을 넘어서야 하는지가 눈에 들어옵니다. 넘어선 만큼이 곧 앞선 시험들을 끌어올리는 몫입니다.
6.SP.A.3Draw A Diagram새 점수는 새 평균에서 자기 자리를 채우고, 더해 예전 시험 일곱 개를 저마다 2씩 끌어올려야 한다.
왜?
평균이 올라간다는 것은 이제 모든 시험이 2만큼 높이 놓인다는 뜻이고, 그 높이가 나올 곳은 새 점수뿐이다.
🧱평균은 전체를 고르게 나눈 값평균은 전체를 개수로 나눈 것이므로 전체는 평균 곱하기 개수이며, 그 높이보다 위에 있는 것들이 내어주는 양은 아래에 있는 것들이 필요한 양과 정확히 같다.
왜?
예전 시험이 얻는 만큼 새 점수가 내주어야 하므로, 두 변화가 균형을 이루고 총합이 어긋나지 않는다.
🧱한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃는다한 덧수에서 다른 덧수로 얼마를 옮겨도 합은 꿈쩍하지 않으므로, 한 수를 편한 수로 만드는 것은 공짜다.
5STEP 5
답을 확인하고 이웃한 점수는 안 된다는 것도 확인하기
다시 평균을 구하면 82점이 맞습니다.
(560+96) ÷ 8 = 656 ÷ 8 = 82
96의 양옆으로 하나씩 넣어 보면 점수가 오를 때 평균도 꾸준히 오른다는 것이 보입니다. 그러니 근처에 숨은 다른 답은 없습니다.
6.SP.B.5Guess And Check정답
96 점
656 − 560 = 96
구한 것은 시험 점수이므로 단위가 점인 것이 맞고, 80점이 보통인 시험에서 96점은 있을 법한 점수입니다. 크기도 말이 됩니다. 평균을 조금이라도 끌어올리려면 새 점수가 지난 평균 80점을 넘어야 하는데 96은 넘습니다. 게다가 앞선 7번까지 끌어올려야 하니 새 평균 82점도 넘어야 하는데, 96은 82보다 14점 많습니다. 이는 앞선 7번이 2점씩 필요로 하는 양과 정확히 같습니다. 마지막 검산도 딱 떨어집니다. 656÷8=82로 나머지가 없고, 평균이 정확히 나온다는 것은 이런 뜻입니다.
핵심 정리
평균을 올리려면 새 점수가 자기 자리 값을 채우고, 이미 있던 점수마다 조금씩 더 얹어 줄 몫까지 감당해야 합니다.
- 지난 평균을 총합으로 되돌리기
- 8번이 도달해야 할 총합 구하기
- 빼서 새 점수 찾기
- 막대를 고르게 맞추는 그림으로 보기
- 답을 확인하고 이웃한 점수는 안 된다는 것도 확인하기
이어서 풀어볼까요