문제
합의 법칙과 곱의 법칙
상자에 파란 공 4개와 노란 공 3개가 들어 있습니다. (1)은 공 1개를 꺼낼 때 파란 공이거나 노란 공인 경우입니다. (2)는 공 2개를 꺼낼 때 파란 공 1개와 노란 공 1개인 경우입니다. 두 경우의 가짓수를 각각 구합니다.
사고력 · 초5-2 경우의 수
내 답
조심 두 물음을 같은 방법으로 풀고 싶지만 또는은 더하고 그리고는 곱합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 수가 작아서 모든 경우를 하나하나 적을 수 있습니다. 그리고 직접 적어 보는 것이야말로 두 물음의 차이를 외우지 않고 눈으로 보게 해 줍니다. 파란 공에 파1, 파2, 파3, 파4, 노란 공에 노1, 노2, 노3이라고 이름을 붙인 다음 각 물음의 경우를 죽 적어 봅니다. (2)에서는 파란 공 하나마다 가지가 셋으로 갈라지는 나뭇가지 그림으로 정리하고, 가로 4줄 세로 3줄짜리 표로도 정리해서 같은 12가지를 두 가지 방법으로 세어 봅니다. 이렇게 적어 놓고 나면 동시에 일어날 수 없을 때는 더하고 함께 일어날 때는 곱한다는 두 규칙이 외운 지식이 아니라 세어 본 결과로 나옵니다.
1STEP 1
공에 이름을 붙여 셀 수 있게 만들기
공마다 이름을 붙여 둡니다.
파란 공: 파1, 파2, 파3, 파4 노란 공: 노1, 노2, 노3
똑같이 생긴 것에 이름을 붙이는 것은 "몇 가지일까"라는 막연한 물음을 실제로 적어 셀 수 있는 목록으로 바꾸는 기본 요령입니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List2STEP 2
(1) 공 하나가 나오는 경우를 모두 적기
공 하나가 나오는 경우를 적으면 7가지입니다.
파1, 파2, 파3, 파4, 노1, 노2, 노3 → 7
모든 경우를 한 줄에 적을 수 있다면 그 줄을 세는 것만으로 답이 됩니다. 어떤 규칙도 필요하지 않습니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List3STEP 3
(1)을 다시, 이번에는 더하기로
'또는'이므로 4 + 3으로도 같습니다.
4 + 3 = 7
따로 놓인 두 무더기를 합치는 일이 곧 더하기입니다. 어느 공도 두 무더기에 걸쳐 있지 않다는 것만 확인하면 마음 놓고 더할 수 있습니다.
1.OA.A.1Organize Information In More Ways4STEP 4
(2) 파란 공과 노란 공의 짝을 나뭇가지 그림으로 뻗기
짝을 나뭇가지로 뻗으면 파랑마다 노랑 셋입니다.
파1 → 노1, 노2, 노3 파2 → 노1, 노2, 노3 파3 → 노1, 노2, 노3 파4 → 노1, 노2, 노3
나뭇가지 그림은 "함께 일어난다"를 눈에 보이게 합니다. 첫 갈래에서 멈출 수 없고 가지 끝까지 가야 하며, 뿌리에서 끝까지 가는 길 하나가 완성된 경우 하나입니다.
7.SP.C.8Draw A Diagram5STEP 5
가지 끝을 곱하기로 세기
가지 끝은 4 × 3 = 12가지입니다.
4 × 3 = 12
똑같은 묶음이 여러 개 있을 때 쓰는 것이 곱셈입니다. 짝을 늘어놓은 가로 4, 세로 3짜리 직사각형은 구구단을 배울 때 보던 바로 그 그림입니다.
3.OA.A.1Organize Information In More Ways6STEP 6
한쪽은 왜 더하고 다른 쪽은 왜 곱하는지 분명히 하기
그래서 더하기와 곱하기가 갈립니다.
나오거나 → 4 + 3 = 7 각각 1개씩 → 4 × 3 = 12
두 가지 일이 동시에 일어날 수 있는지 없는지를 가리는 것이 전부입니다. 그것만 정해지면 남는 것은 더하기 한 번이거나 곱하기 한 번입니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List한쪽은 두 경우가 함께 일어날 수 없어 더하고, 다른 쪽은 두 선택을 함께 하므로 곱한다.
왜?
공을 하나 뽑으면 파랑이거나 노랑일 뿐 둘 다일 수 없으므로, 두 개수가 겹침 없이 전체를 덮는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
파랑 하나와 노랑 하나를 뽑는 것은 두 선택을 모두 하는 일이고 어느 쪽도 다른 쪽을 제한하지 않으므로, 개수는 곱해진다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
정답
7, 12 가지
4 + 3 = 7, 4 × 3 = 12
(1)의 답은 7가지일 수밖에 없습니다. 공 7개가 든 상자에서 하나를 꺼내는 결과는 7가지뿐이고, 그 공은 모두 파랗거나 노랗기 때문입니다. 모든 공이 정확히 한 번씩 세어졌다는 뜻이니 좋은 신호입니다. (2)의 답은 (1)보다 커야 합니다. 12가지 짝은 저마다 이미 파란 공 하나와 노란 공 하나를 품고 있으니까요. 실제로 12는 7보다 큽니다. 한편 공 7개 중 아무 2개를 꺼내는 21가지보다는 작아야 합니다. 같은 색끼리 나오는 경우는 안 되기 때문인데, 12는 21보다 알맞게 작습니다. 순서를 따지지 않고 색이 하나씩 섞인 두 개짜리 묶음으로 다시 세어 봐도 역시 12입니다. 두 답 모두 가짓수이니 자연수인 것도 맞습니다.
핵심 정리
짧은 말을 잘 보세요. "나오거나"는 경우가 나란히 놓인다는 뜻이라 더하고, "각각 1개씩"은 하나하나 다 짝지어진다는 뜻이라 곱합니다!
- 공에 이름을 붙여 셀 수 있게 만들기
- (1) 공 하나가 나오는 경우를 모두 적기
- (1)을 다시, 이번에는 더하기로
- (2) 파란 공과 노란 공의 짝을 나뭇가지 그림으로 뻗기
- 가지 끝을 곱하기로 세기
- 한쪽은 왜 더하고 다른 쪽은 왜 곱하는지 분명히 하기
이어서 풀어볼까요