문제
( )로 묶기
55 − 10 + 3 × 4라는 똑같은 식이 세 줄에 적혀 있습니다. 줄마다 괄호 한 쌍을 서로 다른 자리에 넣습니다. 세 줄의 계산 결과가 모두 달라야 합니다. 세 값을 각각 구합니다.
사고력 · 초5-1 자연수의 혼합 계산
내 답
조심 괄호를 넣으면 늘 값이 바뀔 것 같지만 곱셈을 감싸면 그대로입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 수가 네 개뿐이니 괄호 한 쌍으로 묶을 수 있는 자리는 여섯 군데밖에 없습니다. 완전히 유한한 목록이니 기발한 자리를 찾아 헤맬 것 없이 여섯 개를 그대로 적어 하나씩 계산한 다음, 괄호 없는 원래 값과 똑같이 나오는 것들을 버리면 됩니다. 계산도 괄호 안을 먼저 구하고 나머지를 마무리하는 두 단계로 깔끔하게 갈라지니, 셈이 짧아지고 실수도 줄어듭니다.
1STEP 1
괄호가 없을 때의 값 먼저 구하기
괄호가 없으면 값은 57입니다.
55-10+3 × 4 = 55-10+12 = 45+12 = 57
괄호 없는 값을 미리 알아 두면 잣대가 하나 생깁니다. 57이 다시 나오는 자리는 아무 일도 하지 않은 자리이니 그 자리에서 바로 지워 버리면 됩니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems2STEP 2
괄호가 들어갈 수 있는 자리 모두 적기
괄호가 들어갈 자리를 모두 적어 봅니다.
묶는 수의 개수를 둘, 셋, 넷 순으로 늘려 가며 정리하는 것이 요령입니다. 이렇게 하면 빠뜨리는 자리도, 두 번 세는 자리도 생기지 않습니다.
5.OA.A.2Make A Systematic List3STEP 3
수 두 개를 묶는 세 가지 계산하기
10과 3을 묶으면 3이 됩니다.
55-(10+3) × 4 = 55-13 × 4 = 55-52 = 3
괄호는 원래의 계산 순서를 뒤집을 때만 힘을 씁니다. 어차피 먼저 할 계산을 묶어 봐야 값은 그대로인데, 앞의 두 경우가 바로 그 예입니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems4STEP 4
수 세 개를 묶는 두 가지 계산하기
10 + 3 × 4를 묶으면 33이 됩니다.
(55-10+3) × 4 = 48 × 4 = 192, 55-(10+3 × 4) = 55-22 = 33
수 세 개를 묶으면 계산 덩어리가 통째로 곱셈 앞으로 옮겨 갑니다. 값이 가장 크게 흔들리는 곳이 여기입니다. 한쪽은 답을 훨씬 크게, 다른 쪽은 작게 만듭니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems5STEP 5
아무 일도 하지 않는 자리 지우기
앞의 세 수를 묶으면 192가 됩니다.
목록을 처음에 빠짐없이 만들어 두었기 때문에 헛일하는 경우를 지워도 안심할 수 있습니다. 남은 것이 곧 진짜 답의 전부입니다.
5.OA.A.1Eliminate Possibilities덧셈을 다시 묶기만 하는 괄호는 아무것도 바꾸지 못하므로, 그런 배치는 지워진다.
왜?
덧셈에서 어느 두 수를 먼저 합치든 합은 달라지지 않으므로, 그 둘을 감싼 괄호는 하는 일이 없다.
🧱덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.
왜?
하는 일이 없는 배치를 모두 지우고 나면, 남아 있는 것이 바로 값을 정말로 바꾸는 배치다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
6STEP 6
세 방법으로 정리해 쓰기
값이 바뀌는 자리는 이 세 가지뿐입니다.
55-(10+3) × 4 = 3, 55-(10+3 × 4) = 33, (55-10+3) × 4 = 192
완성된 식과 그 값을 나란히 적어 두면 읽는 사람이 어느 줄이든 직접 다시 계산해 확인할 수 있습니다. 풀이를 보여 주는 목적이 바로 그것입니다.
5.OA.A.2Make A Systematic List정답
3, 33, 192
55 − (10 + 3) × 4 = 3
세 값 모두 같은 네 수로 만든 자연수이고, 괄호 없는 값 57을 가운데 두고 그럴듯하게 흩어져 있습니다. (10+3)을 묶으면 빼야 할 수가 52까지 커지므로 결과 3이 아주 작아지고, (10+3 × 4)를 묶으면 빼는 수가 22이니 33은 57 바로 아래에 놓입니다. (55-10+3)을 묶으면 48에 4를 곱하므로 192는 훨씬 큽니다. 어떤 자리에 괄호를 넣어도 55 × 4=220을 넘길 수는 없는데 실제로도 넘지 않습니다. 세 줄을 처음부터 다시 계산해도 3, 33, 192가 그대로 나오고, 세 값은 서로 다릅니다.
핵심 정리
괄호는 덧셈이나 뺄셈을 곱셈보다 앞으로 끌어낼 때에만 답을 바꿉니다. 넣을 수 있는 자리를 하나도 빠뜨리지 말고 적어 놓고, 그중 정말로 값을 바꾸는 자리가 어디인지 확인해 보세요.
- 괄호가 없을 때의 값 먼저 구하기
- 괄호가 들어갈 수 있는 자리 모두 적기
- 수 두 개를 묶는 세 가지 계산하기
- 수 세 개를 묶는 두 가지 계산하기
- 아무 일도 하지 않는 자리 지우기
- 세 방법으로 정리해 쓰기
이어서 풀어볼까요