문제
포포즈 (2)
만들어야 할 수는 15, 20, 44, 60, 68, 80입니다. 어느 수를 만들든 4를 꼭 네 번 씁니다. 연산 기호와 괄호만 더 쓸 수 있고 다른 숫자는 안 됩니다. 여섯 수를 만드는 식을 각각 씁니다.
사고력 · 초5-1 수 퍼즐
내 답
조심 4를 하나씩만 쓸 것 같지만 두 개를 붙여 44로 쓸 수도 있습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 식을 통째로 머릿속에서 떠올리려 하면 끝이 없습니다. 그래서 먼저 4를 두 개만 써서 만들 수 있는 값을 남김없이 적어 둡니다. 4-4=0, 4÷4=1, 4+4=8, 4×4=16, 그리고 붙여 쓴 44까지 다섯 개가 전부입니다. 이 짧은 목록이 이 문제의 연장통이 됩니다. 그다음에는 목표 수를 두 덩어리로 쪼갭니다. 한 덩어리는 4 두 개로, 남은 덩어리는 나머지 4 두 개로 만드는 것이지요. 그러면 수마다 작은 문제 하나만 남고, 목록에 있는 몇 안 되는 후보를 대 보면 금방 끝납니다. 여기 나온 수들은 제법 크기 때문에 크기를 떠받치는 덩어리는 대개 4×4×4=64, 4×4+4=20, 아니면 두 자리 수 44가 됩니다.
1STEP 1
4 두 개로 만들 수 있는 값 모두 적기
4 두 개로는 0, 1, 8, 16, 44를 만들 수 있습니다.
4-4=0, 4÷4=1, 4+4=8, 4×4=16, 44
4 두 개와 기호 하나로 만들 수 있는 세상은 다섯 개짜리로 아주 좁습니다. 목록이 완전하니 뒤에 가서 놀랄 일이 없습니다.
5.OA.A.2Make A Systematic List4 두 개로 만들 수 있는 것을 모두 적으면 짧은 차림표가 되고, 4 네 개짜리 식은 그중 둘을 기호 하나로 이은 것이다.
왜?
4 두 개와 연산 하나는 작고 닫힌 세계이므로, 빠짐없이 적어 두면 나중에 튀어나올 것이 없다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
왼쪽 절반과 오른쪽 절반은 서로를 제한하지 않고 고를 수 있으므로, 차림표의 모든 짝이 실제로 쓸 수 있다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
2STEP 2
4 세 개로 만들 수 있는 쓸모 있는 값 적기
4 세 개로는 64, 20, 12, 11이 쓸모 있습니다.
4×4×4=64, 4×4+4=20, 4×4-4=12, 44÷4=11
4학년 곱셈이면 충분합니다. 4×4×4는 결국 16×4라서 한 번에 계산할 수 있습니다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List3STEP 3
15 만들기: 16에 올라섰다가 1만큼 내려오기
15는 16에서 1을 빼 4 × 4 − 4 ÷ 4입니다.
16-1=15 → 4×4-4÷4=16-1=15
15를 16-1로 쪼갠 것이 전부입니다. 쪼갠 두 조각 모두 4 두 개로 만드는 법을 이미 알고 있으니까요.
5.OA.A.1Identify Subproblems4STEP 4
20 만들기: 5를 만든 다음 4를 곱하기
20은 5에 4를 곱해 (4 ÷ 4 + 4) × 4입니다.
5×4=20 → (4÷4+4)×4=5×4=20
20=5×4라는 것만 보이면 남는 일은 5를 만드는 것뿐이고, 5는 1+4입니다. 그 1은 늘 쓰는 4÷4이고요.
5.OA.A.1Guess And Check5STEP 5
44 만들기: 두 자리 수 44를 그대로 쓰기
44는 두 자리 수를 그대로 써 44 ÷ 4 × 4입니다.
11×4=44 → 44÷4×4=11×4=44
4로 나눈 뒤 다시 4를 곱하면 원래 값으로 돌아옵니다. 그래서 이 4 두 개는 아무 일도 하지 않는 짝이 되어, 목표 수가 이미 판 위에 있을 때 아주 요긴합니다.
5.OA.A.1Identify Subproblems6STEP 6
60과 68 만들기: 64에 올라서서 4만큼 오르내리기
60과 68은 64에서 4만큼 오르내립니다.
64-4=60 → 4×4×4-4=60; 64+4=68 → 4×4×4+4=68
한 가지 생각으로 두 수를 얻는 셈입니다. 64에 손이 닿기만 하면 그 앞뒤로 4 이내에 있는 수는 기호 하나 차이입니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems7STEP 7
80 만들기: 20을 만든 다음 4를 곱하기
80은 20에 4를 곱해 (4 × 4 + 4) × 4입니다.
20×4=80 → (4×4+4)×4=20×4=80
두 덩어리로 쪼개는 버릇은 가장 큰 목표 수에도 그대로 통합니다. 달라지는 것은 덩어리의 크기뿐입니다.
5.OA.A.1Guess And Check8STEP 8
식마다 4의 개수 세어 보기
식마다 4가 꼭 네 개인지 셉니다.
16-1=15; 5×4=20; 11×4=44; 64-4=60; 64+4=68; 20×4=80
잘 세워 놓은 식을 망치는 실수는 거의 4를 잘못 세는 데서 나옵니다. 세는 일만 따로 한 번 더 해 볼 값어치가 있습니다.
5.OA.A.1Make A Systematic List정답
4 × 4 − 4 ÷ 4, (4 ÷ 4 + 4) × 4, 44 ÷ 4 × 4, 4 × 4 × 4 − 4, 4 × 4 × 4 + 4, (4 × 4 + 4) × 4
여섯 식 모두 숫자 4를 정확히 네 번만 쓰고 다른 숫자는 하나도 쓰지 않았습니다. 다시 계산해도 목표 수가 그대로 나옵니다. 16-1=15, 5x4=20, 11x4=44, 64-4=60, 64+4=68, 20x4=80입니다. 크기를 따져 봐도 앞뒤가 맞습니다. 가장 작은 15는 4x4=16 하나만 뼈대로 삼으면 됐고, 가운데 크기인 44와 60, 68은 4를 세 개 써서 만든 값(44나 64)이 필요했으며, 가장 큰 80은 그중에서도 가장 큰 뼈대인 20x4가 필요했습니다. 또 4를 따로 네 개 쓰고 +, -, x, / 만으로는 44를 만들 수 없다는 것도 빠짐없이 확인했습니다. 붙여 쓴 44가 오직 그 답에만 나오고 다른 답에는 나오지 않는 이유가 여기에 있습니다.
핵심 정리
4를 딱 두 개로 만들 수 있는 값 0, 1, 8, 16, 44를 먼저 적어 두세요. 그러면 아무리 큰 목표 수라도 '그중 하나를 남은 4 두 개로 살짝 손본 것'이 됩니다.
- 4 두 개로 만들 수 있는 값 모두 적기
- 4 세 개로 만들 수 있는 쓸모 있는 값 적기
- 15 만들기: 16에 올라섰다가 1만큼 내려오기
- 20 만들기: 5를 만든 다음 4를 곱하기
- 44 만들기: 두 자리 수 44를 그대로 쓰기
- 60과 68 만들기: 64에 올라서서 4만큼 오르내리기
- 80 만들기: 20을 만든 다음 4를 곱하기
- 식마다 4의 개수 세어 보기
이어서 풀어볼까요