문제
포포즈 (1)
쓸 수 있는 것은 4 네 개뿐입니다. 연산 기호와 괄호만 더 쓸 수 있습니다. 네 식은 서로 달라야 합니다. 값이 모두 8이 되는 식을 네 개 만듭니다.
사고력 · 초5-1 수 퍼즐
내 답
조심 4 + 4로 끝내고 싶지만 4를 네 개 모두 써야 합니다.
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기 — 4 네 개를 한꺼번에 머리로 뒤지기는 벅차니 문제를 줄입니다. 먼저 '4를 두 개만 쓰면 어떤 수를 만들 수 있을까'라는 더 쉬운 질문에 답해 짧은 재료 목록을 마련합니다. 그다음 목표에서 거꾸로 내려옵니다. 8은 12 - 4이고, 4 + 4이고, 8 ÷ 1이고, 32 ÷ 4입니다. 하나같이 두 수의 짝이니, 그 두 수를 각각 4로 만들어 내기만 하면 됩니다. 4 네 개를 두 개씩 두 덩이로 가르는 이 한 수가 문제를 통째로 쉽게 만들어 줍니다.
1STEP 1
재료 모으기: 4 두 개로 만들 수 있는 수
4 두 개로 0, 1, 8, 16을 만들 수 있습니다.
4 + 4 = 8, 4 - 4 = 0, 4 × 4 = 16, 4 ÷ 4 = 1, 44
다섯 개면 머릿속에 담아 둘 만한 목록입니다. 가운데를 기준으로 반씩 갈라지는 네 개짜리 식은 결국 이 다섯 수 중 둘을 연산 하나로 이어 붙인 것입니다.
5.OA.A.2Make A Systematic List2STEP 2
8에서 거꾸로 내려오기
8이 되는 길은 12 − 4, 4 + 4, 8 ÷ 1, 32 ÷ 4입니다.
12 - 4 = 8, 4 + 4 = 8, 8 ÷ 1 = 8, 32 ÷ 4 = 8
답에서 시작해 거슬러 올라가면 어려운 탐색 하나가 자잘한 탐색 여럿으로 쪼개집니다. 8을 만드는 두 수의 짝쯤은 5학년이면 이미 다 알고 있습니다.
5.OA.A.2Work Backwards8에서 거꾸로 거슬러 어떤 값의 짝이 8에 닿는지를 물으면, 만드는 일이 짧은 탐색이 된다.
왜?
8에 닿는 모든 방법은 거꾸로 돌릴 수 있으므로, 그 앞에 무엇이 있었어야 하는지를 묻는 것도 앞으로 만드는 것만큼 정당하다.
🧱역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
왜?
식은 두 절반을 연산 하나로 이은 것이므로, 각 절반의 목표를 정하면 설계가 끝난다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
첫째 식: 12 - 4 = 8에서
첫째는 4 + 4 + 4 − 4입니다.
4 + 4 + 4 - 4 = 12 - 4 = 8
가장 소박한 식입니다. 4를 거듭 더하는 것은 뛰어 세기이니 4, 8, 12까지 올라갔다가 한 걸음 내려오면 8에 내려앉습니다.
5.OA.A.1Solve An Easier Related Problem4STEP 4
둘째 식: 4 + 4 = 8에서
둘째는 4 × 4 ÷ 4 + 4입니다.
4 × 4 ÷ 4 + 4 = 16 ÷ 4 + 4 = 4 + 4 = 8
4를 곱했다가 다시 4로 나누면 서로 없던 일이 되므로, 4 세 개가 슬그머니 4 한 개 노릇을 합니다. 포포즈에서 어떤 목표를 노리든 기억해 둘 만한 수법입니다.
5.OA.A.1Solve An Easier Related Problem5STEP 5
셋째 식: 8 ÷ 1 = 8에서
셋째는 (4 + 4) ÷ (4 ÷ 4)입니다.
(4 + 4) ÷ (4 ÷ 4) = 8 ÷ 1 = 8
1로 나누면 아무것도 달라지지 않으니, 값이 1인 식은 어떤 8에든 공짜로 붙일 수 있습니다. 목표가 1이던 보기의 방식을 거꾸로 돌려 쓴 셈입니다.
5.OA.A.1Guess And Check6STEP 6
넷째 식: 32 ÷ 4 = 8에서
넷째는 (4 + 4) × 4 ÷ 4입니다.
(4 + 4) × 4 ÷ 4 = 8 × 4 ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8
4를 곱하고 4로 나누면 서로 지워지니 둘째 식을 거울에 비춘 모양입니다. 둘째 식에서는 곱 안에서 4 두 개가 지워졌고, 여기서는 8의 양옆에서 지워집니다.
5.OA.A.1Guess And Check7STEP 7
네 식 모두 확인하기
네 식 모두 4가 넷이고 값이 8입니다.
4+4+4-4 = 8, 4 × 4 ÷ 4 + 4 = 8, (4+4) ÷ (4 ÷ 4) = 8, (4+4) × 4 ÷ 4 = 8
4의 개수를 세는 일은 학생들이 가장 자주 건너뛰는 확인인데, 이 퍼즐이 어긋나는 곳이 바로 거기입니다. 4를 세 개만 쓰고 8이 나왔다면 답이 아닙니다.
5.OA.A.1Make A Systematic List정답
4 + 4 + 4 − 4, 4 × 4 ÷ 4 + 4, (4 + 4) ÷ (4 ÷ 4), (4 + 4) × 4 ÷ 4
네 식 모두 계산 순서를 지켜 값을 구했고 하나같이 정확히 8에 떨어집니다. 4는 정확히 네 개씩 썼고 다른 숫자는 끼어들지 않았습니다. 목표 8이 쉬운 까닭은 4 + 4가 이미 8이기 때문입니다. 그러니 남은 4 두 개는 없던 일로 만들어 주기만 하면 됩니다. 더했다가 빼거나, 곱했다가 나누거나, 1을 만들어 그것으로 나누면 됩니다. 답이 이토록 많은 이유가 여기 있고, 같은 수법을 쓴 목표 1의 보기와도 결이 같습니다.
핵심 정리
4 네 개를 두 개씩 두 덩이로 갈라 보세요. 두 개로 어떤 수를 만들 수 있는지만 알면, 문제는 "어떤 두 수를 이으면 8이 될까" 하나로 줄어듭니다.
- 재료 모으기: 4 두 개로 만들 수 있는 수
- 8에서 거꾸로 내려오기
- 첫째 식: 12 - 4 = 8에서
- 둘째 식: 4 + 4 = 8에서
- 셋째 식: 8 ÷ 1 = 8에서
- 넷째 식: 32 ÷ 4 = 8에서
- 네 식 모두 확인하기
이어서 풀어볼까요