문제
순열과 조합
숫자 카드 4장에 3, 1, 5, 8이 적혀 있습니다. (1)은 3장을 뽑아 나란히 놓아 세 자리 수를 만듭니다. (2)는 순서 없이 3장을 뽑기만 합니다. 두 물음의 가짓수를 각각 구합니다.
사고력 · 초5-2 경우의 수
내 답
조심 두 물음이 같아 보이지만 순서를 따지지 않으면 여섯 가지가 한 가지가 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 문제가 먼저 나뭇가지 그림을 그리라고 합니다. 나뭇가지 그림은 빠짐없이 나열하는 가장 안전한 방법이기도 합니다. 백의 자리를 먼저 정하고 십의 자리, 일의 자리 순으로 정해 나가니 같은 것을 두 번 적거나 빠뜨릴 일이 없습니다. 가지 끝을 세면 규칙 없이도 답이 나옵니다. 그다음 나뭇가지 그림의 생김새를 봅니다. 가지 4개가 저마다 3갈래로, 그 각각이 다시 2갈래로 나뉘어 있으니 4 × 3 × 2라는 식이 그림에서 그대로 읽힙니다. 이것이 문제가 요구하는 두 번째 방법입니다. (2)에서는 "뽑은 카드 3장을 늘어놓는 방법은 몇 가지인가"라는 더 쉬운 문제를 먼저 풀어 6가지임을 알아냅니다. 그러면 (1)의 24개가 결국 뽑기 하나하나를 6가지 순서로 늘어놓은 것임을 알게 되어, 6으로 나누면 겹친 것이 사라집니다.
1STEP 1
백의 자리부터 나뭇가지 그림 그리기
백의 자리부터 나뭇가지 그림을 뻗습니다.
3 → 1 → {5, 8} → 315, 318
백의 자리, 십의 자리, 일의 자리 순으로 자리를 정해 나가면 같은 수를 두 번 쓰거나 하나를 빠뜨릴 일이 없습니다. 나뭇가지 그림이 그 정리를 대신 해 줍니다.
7.SP.C.8Draw A Diagram2STEP 2
가지 끝 세기
가지 끝을 세면 24개입니다.
6 + 6 + 6 + 6 = 24
목록이 짧아서 전부 적어 눈으로 확인할 수 있으니 규칙을 믿고 맡길 필요가 없습니다. 그리고 6개씩 4묶음이라는 점이 다음 단계의 실마리입니다.
7.SP.C.8Make A Systematic List3STEP 3
나뭇가지 그림의 모양에서 계산식 읽어 내기
그림 모양에서 4 × 3 × 2가 읽힙니다.
4 × 3 × 2 = 24
같은 크기의 묶음 안에 또 같은 크기의 묶음이 들어 있으면 곱셈입니다. 구구단을 배울 때 쓰던 그 생각이고, 한번 믿게 되면 나뭇가지 그림을 그리지 않고도 답할 수 있습니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List4STEP 4
더 쉬운 물음 먼저 - 카드 3장을 늘어놓는 방법은?
카드 3장을 늘어놓는 방법은 6가지입니다.
3 × 2 × 1 = 6
이미 손에 든 카드 3장을 늘어놓는다는 작은 물음을 먼저 풀어 두면 본래 물음이 쉬워집니다. 진짜 카드 석 장을 이리저리 섞어 보며 확인할 수도 있습니다.
7.SP.C.8Solve An Easier Related Problem5STEP 5
겹친 것을 나누어 없애고 뽑는 방법 세기
겹친 것을 나누면 뽑는 방법은 4가지입니다.
4 × 3 × 2 ÷ 6 = 24 ÷ 6 = 4
모든 경우가 똑같은 횟수로 세어졌다면 그 횟수로 나누어 겹친 것을 없앱니다. 악수의 횟수를 셀 때 2로 나누는 것과 같은 까닭입니다.
3.OA.A.2Make A Systematic List되풀이된 것을 나누어 없애면 순서대로 늘어놓은 개수가 한 줌씩의 개수로 바뀐다.
왜?
카드 세 장을 한 줌으로 보면 늘어놓을 수 있는 순서마다 한 번씩 나타나므로, 순서를 센 값은 참값의 일정한 배수다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
한 줌이 가지는 순서의 수는 어느 줌이든 같은데, 자리를 서로 무관하게 채울 수 있기 때문이다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
정답
24, 4 가지
4 × 3 × 2 = 24, 24 ÷ 6 = 4
나뭇가지 그림으로 적은 24개는 모두 진짜 세 자리 수입니다. 0이 적힌 카드가 없기 때문입니다. 가장 작은 135부터 가장 큰 853까지 퍼져 있는 것도 1, 3, 5, 8로 만든 수라면 그럴듯합니다. 가지 끝을 세어 얻은 24와 곱셈으로 얻은 24가 일치하는데, 하나는 수를 전부 적어서 얻었고 다른 하나는 가지 수를 곱해서 얻었으니 서로 다른 방법의 일치라 믿을 만합니다. (2)의 답은 (1)보다 작아야 합니다. 순서를 무시하면 경우가 합쳐지기만 하지 쪼개지지는 않기 때문인데, 4는 24보다 훨씬 작습니다. 줄어든 배수가 6인 것도 카드 3장을 늘어놓는 방법의 수와 정확히 같아 알맞습니다. 마지막으로 4가지 뽑기를 모두 적어 확인할 수 있고, 이 4는 남길 카드 한 장을 고르는 4가지와도 맞아떨어집니다.
핵심 정리
수를 만들 때는 순서가 중요하니까 4 × 3 × 2 = 24로 곱하고, 카드를 그냥 집을 때는 순서가 상관없으니까 섞는 방법 6가지로 나누어 4가 됩니다!
- 백의 자리부터 나뭇가지 그림 그리기
- 가지 끝 세기
- 나뭇가지 그림의 모양에서 계산식 읽어 내기
- 더 쉬운 물음 먼저 - 카드 3장을 늘어놓는 방법은?
- 겹친 것을 나누어 없애고 뽑는 방법 세기
이어서 풀어볼까요