문제
유클리드 호제법
30과 24의 최대공약수를 두 가지 방법으로 구한 과정이 주어집니다. 방법 1은 소인수분해해 공통 소인수를 곱합니다. 방법 2는 두 수에서 공약수를 함께 걷어 냅니다. 같은 두 방법으로 72와 34, 36과 54의 최대공약수를 구합니다.
사고력 · 초5-1 최대공약수와 최소공배수
내 답
조심 사다리 맨 아래 몫을 답으로 쓰기 쉽지만 최대공약수는 옆에 적은 수들의 곱입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 30과 24가 든 상자는 두 방법을 이미 다 풀어 놓은 쉬운 예입니다. 그래서 먼저 상자에서 각 방법을 '되풀이하는 동작'과 '멈추는 조건'으로 읽어 내고, 그 되풀이를 새 쌍에 그대로 돌립니다. |방법 1|은 두 소인수분해를 나란히 적고 같은 소인수를 하나씩 맞춰 없애다가 더 맞출 것이 없으면 멈추는 방법이 되고, |방법 2|는 두 수를 공약수로 나눈 몫으로 갈아 끼우기를 되풀이하다가 두 몫의 공약수가 1뿐이면 멈추는 방법이 됩니다. 소인수를 빠짐없이 적어 두어야 짝 맞추기가 정확해지고, 마지막에 나누는 수들을 거꾸로 곱해 두 수를 되살려 보면 빠뜨린 것이 없는지 확인할 수 있습니다.
1STEP 1
상자의 두 방법을 되풀이 구조로 읽어 내기
보기의 두 방법은 모두 되풀이하는 짜임입니다.
(30, 24) → (15, 12) → (5, 4), 최대공약수 = 2 × 3 = 6
상자를 '더 할 수 없을 때까지 이 동작을 되풀이하라'로 읽어야 다른 수에도 쓸 수 있습니다. 그렇게 읽지 않으면 30과 24에 관한 그림 두 장으로 끝나 버립니다.
6.NS.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
(1) |방법 1|: 72와 34를 소인수분해하고 짝 맞추기
72와 34는 공통 소인수가 2 하나뿐입니다.
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3, 34 = 2 × 17, 공통: 2
두 소인수분해를 하나도 빠뜨리지 않고 적어 놓으면 '무엇을 함께 가지고 있나'라는 물음이 짝 맞추기 놀이가 되어 짐작할 여지가 사라집니다. 양쪽 목록에 실제로 있어야만 공통 소인수입니다.
6.NS.B.4Make A Systematic List3STEP 3
(1) |방법 2|: 72와 34에서 공약수 걷어 내기
사다리로도 최대공약수는 2입니다.
2 ) 72 34 ⟶ 36 17, (72, 34)의 최대공약수 = 2
여기서 배울 것은 멈출 조건입니다. 수가 작아 보인다고 멈추는 것이 아니라, 두 몫이 더는 함께 가진 것이 없을 때 멈춥니다.
6.NS.B.4Look For A Pattern4STEP 4
(2) |방법 1|: 36과 54를 소인수분해하고 짝 맞추기
36과 54는 공통 소인수가 2와 3과 3입니다.
36 = 2 × 2 × 3 × 3, 54 = 2 × 3 × 3 × 3, 2 × 3 × 3 = 18
'같은 소인수는 적게 든 쪽만큼만 가져온다'가 바로 짝 맞추기가 하는 일입니다. 답이 두 수보다 커질 수 없는 까닭도 여기 있습니다. 양쪽이 실제로 가진 만큼만 가져올 수 있으니까요.
6.NS.B.4Make A Systematic List5STEP 5
(2) |방법 2|: 36과 54에 공약수 사다리 돌리기
곱하면 최대공약수는 18입니다.
(36, 54) → (18, 27) → (6, 9) → (2, 3), 최대공약수 = 2 × 3 × 3 = 18
사다리를 한 층 오를 때마다 두 수가 모두 작아지므로 끝없이 이어질 수 없습니다. 언젠가는 반드시 공통된 것이 없는 쌍에 이르고, 바로 그때가 멈출 때입니다.
4.NBT.B.6Look For A Pattern6STEP 6
왜 사다리가 반드시 멈추고, 왜 나누는 수의 곱이 답인가
마지막 두 몫이 더 나눌 것이 없어 사다리가 멈춥니다.
36 = 18 × 2, 54 = 18 × 3, 2와 3은 공통된 인수가 없음
사다리를 거꾸로 읽어 남은 수에서 36과 54를 되살려 보면, 멈출 조건이 '최대'라는 말을 책임지고 있다는 것이 보입니다. 그저 연필을 내려놓을 때를 알려 주는 신호가 아닙니다.
6.NS.B.4Work Backwards사다리는 반드시 멈추며, 그 가로대들의 곱이 최대공약수다.
왜?
가로대마다 두 수가 반드시 작아지고 수는 1 아래로 계속 줄어들 수 없으므로, 이 되풀이는 끝없이 이어질 수 없다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
가로대마다 공통된 소수 하나를 벗겨 내고 어떤 수가 지닌 소수는 정해져 있으므로, 가로대들은 두 수가 공유하는 소수를 정확히 모은다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
7STEP 7
단원 뒤에 나오는 나눗셈 사슬로 다시 확인하기
나눗셈 사슬로 확인해도 2와 18입니다.
72 ÷ 34 = 2 … 4, 34 ÷ 4 = 8 … 2, 4 ÷ 2 = 2 … 0 → 2
되풀이 방법이 셋이고 멈출 조건도 셋인데 답은 매번 하나로 같습니다. 답이 방법에 딸린 것이 아니라 두 수 자체에 딸려 있다는 가장 강한 증거입니다.
6.NS.B.2Look For A Pattern정답
2, 18
2 × 3 × 3 = 18
두 답 모두 확인이 쉽습니다. 최대공약수는 두 수 중 작은 쪽보다 클 수 없는데 2 ≤ 34이고 18 ≤ 36이라 괜찮습니다. 또 두 수를 모두 나누어떨어지게 해야 하는데 72 ÷ 2 = 36, 34 ÷ 2 = 17, 36 ÷ 18 = 2, 54 ÷ 18 = 3으로 전부 딱 떨어집니다. 두 경우 모두 마지막에 남은 두 수가 공통된 인수를 갖지 않는데(36과 17, 그리고 2와 3), 이것이 걷어 낼 수 있는 것을 다 걷어 냈다는 표시입니다. (1)의 답이 2인 것도 그럴듯합니다. 34는 2 × 17뿐이고 17은 72 안에 들어갈 자리가 없으니 함께 가질 수 있는 최대치가 2였습니다. (2)의 답이 18인 것도 18 = 2 × 9이고 36 = 18 × 2, 54 = 18 × 3처럼 두 수가 눈에 띄게 18의 배수라서 납득이 갑니다.
핵심 정리
두 수에서 공통된 인수를 더 걷어 낼 것이 없을 때까지 계속 걷어 내세요. 어디에서 멈추느냐가 그냥 공약수가 아니라 '최대'공약수를 만들어 줍니다.
- 상자의 두 방법을 되풀이 구조로 읽어 내기
- (1) |방법 1|: 72와 34를 소인수분해하고 짝 맞추기
- (1) |방법 2|: 72와 34에서 공약수 걷어 내기
- (2) |방법 1|: 36과 54를 소인수분해하고 짝 맞추기
- (2) |방법 2|: 36과 54에 공약수 사다리 돌리기
- 왜 사다리가 반드시 멈추고, 왜 나누는 수의 곱이 답인가
- 단원 뒤에 나오는 나눗셈 사슬로 다시 확인하기
이어서 풀어볼까요