문제
0의 개수
238000은 끝에 0이 세 개 이어져 있습니다. 곱셈 세 개는 8×12×125, 16×25×35, 4×36×750입니다. 끝까지 계산하지 않고 알아내야 합니다. 각 곱의 끝에 0이 몇 개 붙는지 구합니다.
사고력 · 초5-1 소인수분해의 활용
내 답
조심 2나 5가 많으면 0도 많을 것 같지만 세어야 할 것은 2와 5가 이루는 짝입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 보기가 규칙을 알려 줍니다. 238000 = 238 × 1000이고, 1000 안에 들어 있는 10 하나마다 끝에 0이 하나씩 더 붙습니다. 그러니 각 곱셈에서 진짜 물어야 할 것은 '10을 몇 개나 뽑아낼 수 있는가'입니다. 10 = 2 × 5이므로 곱해지는 수를 하나씩 소인수로 쪼개어 작은 목록을 만들고, 2가 모두 몇 개인지 5가 모두 몇 개인지 센 다음 하나씩 짝지어 봅니다. 먼저 바닥나는 쪽이 개수를 결정하므로, 답은 두 개수 중 작은 쪽입니다.
1STEP 1
끝자리 0이 어디에서 생기는지 보기
끝자리 0은 10을 곱할 때마다 하나씩 생깁니다.
238000 = 238 × 10 × 10 × 10
10을 곱하면 모든 숫자가 한 자리씩 왼쪽으로 옮겨 가고 일의 자리에 0이 하나 들어옵니다. 그러니 곱 안에 들어 있는 10 하나가 끝자리 0 하나를 사는 셈입니다.
5.NBT.A.2Look For A Pattern2STEP 2
10을 2와 5의 짝으로 바꾸기
10은 2와 5가 만나야 생깁니다.
10 = 2 × 5
2를 한 바구니에, 5를 다른 바구니에 담아 두고 생각하면 그림이 선명합니다. 짝이 맞는 만큼만 10을 만들 수 있으니 적게 담긴 바구니가 개수를 정합니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems끝에 붙는 0은 모두 2 하나와 5 하나가 짝지어져 생기므로, 0을 세는 일은 그 짝을 세는 일이다.
왜?
어떤 수가 소수로 갈라지는 방법은 하나뿐이므로, 곱 안에 숨은 10은 그 곱이 지닌 2와 5가 전부다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
왜?
10 하나에는 2 하나와 5 하나가 정확히 필요하므로, 10과 그 소수들의 짝은 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
(1) 8 × 12 × 125를 소인수로 쪼개기
(1)은 2가 다섯, 5가 셋이라 짝은 3개입니다.
8 × 12 × 125 = (2³)(2² × 3)(5³) = 2⁵ × 3 × 5³
수를 따로따로 쪼갠 뒤 같은 소인수끼리 모으면 계산이 훨씬 간단해집니다. 곱셈을 실제로 할 필요도 없습니다.
6.EE.A.1Make A Systematic List4STEP 4
(1) 짝을 지어 세기
그래서 (1)의 끝에는 0이 3개 붙습니다.
2⁵ × 3 × 5³ = (2 × 5)³ × 2² × 3 = 1000 × 12 = 12000
적은 쪽이 이깁니다. 여기서는 5가 부족한데 대개 그렇습니다. 2는 흔하고 5는 귀하기 때문입니다.
5.NBT.A.2Look For A Pattern5STEP 5
(2) 16 × 25 × 35를 쪼개고 세기
(2)도 짝이 셋이라 0이 3개입니다.
16 × 25 × 35 = 2⁴ × 5³ × 7 = (2 × 5)³ × 2 × 7 = 1000 × 14 = 14000
35 안에 5가 숨어 있는 것을 놓치기 쉽습니다. 눈대중으로 보지 않고 곱해지는 수를 하나도 빠뜨리지 않고 소인수로 쪼개야 이 5가 잡히고, 0이 두 개에서 세 개로 늘어납니다.
6.EE.A.1Make A Systematic List6STEP 6
(3) 4 × 36 × 750을 쪼개고 세기
(3)도 짝이 셋이라 0이 3개입니다.
4 × 36 × 750 = 2⁵ × 3³ × 5³ = (2 × 5)³ × 2² × 3³ = 1000 × 108 = 108000
750이 이미 0 하나로 끝나지만 그 0 하나가 답은 아닙니다. 나머지 수들이 5를 두 개 더 대 주고, 결국 짝을 지어 센 결과가 답을 정합니다.
6.EE.A.1Make A Systematic List7STEP 7
세 답을 한자리에 모으기
세 곱 모두 끝에 0이 3개입니다.
답이 세 번 다 같다고 해서 잘못 푼 것이 아닙니다. 세 곱셈이 저마다 5를 꼭 세 개씩 품도록 일부러 만들어졌기 때문입니다.
5.NBT.A.2Look For A Pattern정답
3, 3, 3 개
1000 × 12, 1000 × 14, 1000 × 108
세 개수를 모두 실제 계산으로 확인했습니다. 8 × 12 × 125 = 12000, 16 × 25 × 35 = 14000, 4 × 36 × 750 = 108000으로 저마다 끝에 0이 정확히 세 개입니다. 개수의 한계도 맞습니다. 끝자리 0의 개수는 곱 안에 든 5의 개수를 넘을 수 없는데 세 곱 모두 5를 꼭 세 개씩 품고 있으니 3이 가능한 최댓값이었습니다. (3)에서는 0을 떼어 낸 나머지 부분이 108이고 이 수가 5로도 0으로도 끝나지 않으므로 네 번째 0이 숨어 있지 않다는 것도 확인됩니다.
핵심 정리
곱의 끝에 붙는 0은 모두 2 하나와 5 하나가 짝을 이루어 생깁니다. 2를 세고 5를 센 다음, 적은 쪽 개수가 바로 0의 개수입니다.
- 끝자리 0이 어디에서 생기는지 보기
- 10을 2와 5의 짝으로 바꾸기
- (1) 8 × 12 × 125를 소인수로 쪼개기
- (1) 짝을 지어 세기
- (2) 16 × 25 × 35를 쪼개고 세기
- (3) 4 × 36 × 750을 쪼개고 세기
- 세 답을 한자리에 모으기
이어서 풀어볼까요