문제
제곱수
같은 수를 두 번 곱해 만든 수를 제곱수라고 합니다. 236, 441, 853, 576, 2904 다섯 수가 주어집니다. 일일이 곱해 보지 않고 판정합니다. 제곱수를 모두 고릅니다.
사고력 · 초5-1 소인수분해의 활용
내 답
조심 짝을 이루는 소인수가 있으면 될 것 같지만 하나라도 홀수 개면 제곱수가 아닙니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 먼저 |보기|의 세 수에서 큰 수에도 그대로 통하는 규칙을 찾습니다. 4 = 2 × 2, 25 = 5 × 5, 121 = 11 × 11을 소인수의 모습으로 보면 어느 소인수든 짝수 번씩 나타납니다. 이것을 판별법으로 삼겠습니다. 그다음에는 다섯 수를 한 줄에 하나씩 놓고 빠짐없이 소인수분해하여 각 소인수가 몇 번 나오는지 셉니다. 홀수 번 나오는 소인수가 하나라도 있으면 탈락이고, 모두 짝수 번이면 두 묶음으로 갈라 실제로 곱해 보아 확인합니다.
1STEP 1
제곱수의 뜻을 소인수의 개수 문제로 바꾸기
제곱수는 소인수가 모두 짝을 이룹니다.
k = p × q → k × k = p × q × p × q = p² × q²
목록을 두 벌로 만들면 개수는 모두 두 배가 되고, 두 배는 언제나 짝수입니다. 작은 보기 세 개에서 이 규칙만 읽어 내면 어떤 수를 제곱해 볼지 더는 짐작하지 않아도 됩니다.
6.EE.A.1Look For A Pattern어떤 수가 완전제곱수라는 것은 소인수분해에서 모든 소수가 짝수 번 나타난다는 것과 정확히 같다.
왜?
어떤 수가 소수로 갈라지는 방법은 하나뿐이므로, 그것을 제곱하면 각 소수가 나타나는 횟수가 그저 두 배가 된다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
왜?
제곱수는 어떤 수에 똑같은 복사본을 곱한 것이므로, 그 소수들은 남는 것 없이 짝을 이룬다.
🧱곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.
2STEP 2
① 236 소인수분해하기
236은 59가 하나뿐이라 아닙니다.
236 = 2 × 2 × 59 = 2² × 59 → 제곱수가 아님
짝이 없는 소인수가 하나만 있어도 제곱수는 될 수 없습니다. 홀수 번 나오는 소인수를 발견한 순간 계산을 멈춰도 됩니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
② 441 소인수분해하기
441은 3과 7이 둘씩이라 21의 제곱입니다.
441 = 3 × 3 × 7 × 7 = 3² × 7² = (3 × 7)×(3 × 7) = 21 × 21
각 자리 숫자의 합으로 3의 배수인지 판단하면 첫 소인수를 나눗셈 없이 찾을 수 있습니다. 그 뒤로는 수가 작아져서 눈으로도 보입니다.
6.EE.A.1Make A Systematic List4STEP 4
③ 853은 일의 자리 숫자로 걸러 내기
853은 일의 자리가 3이라 아닙니다.
제곱수의 일의 자리 ∈ {0,1,4,5,6,9}, 853 의 일의 자리는 3
곱의 일의 자리는 곱하는 두 수의 일의 자리만으로 정해집니다. 그래서 열 가지만 따져 보면 앞으로 만날 모든 제곱수의 일의 자리가 한꺼번에 정리됩니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern5STEP 5
④ 576 소인수분해하기
576은 소인수가 모두 짝이라 24의 제곱입니다.
576 = 2⁶ × 3² = (2×2×2×3)×(2×2×2×3) = 24 × 24
반으로 나누는 일만 되풀이하면 되니 2로 나누는 나눗셈 말고는 아무것도 필요 없습니다. 576처럼 큰 수도 몇 줄 만에 소인수까지 내려옵니다.
6.EE.A.1Make A Systematic List6STEP 6
⑤ 2904 소인수분해하기
2904는 2와 3이 홀수 개라 아닙니다.
2904 = 2³ × 3 × 11² → 제곱수가 아님
11이 두 개 보이면 제곱수라고 넘겨짚기 쉽습니다. 하지만 판별법은 모든 소인수를 한꺼번에 보는 것이고, 남아 있는 2 하나와 3 하나가 짝을 이루지 못해 무너집니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List7STEP 7
찾아낸 두 수를 다시 곱해 확인하기
되곱하면 441과 576만 맞습니다.
21 × 21 = 441 그리고 24 × 24 = 576
소인수분해는 어느 가지에서든 실수가 날 수 있습니다. 답을 다시 곱해 보는 것이 온갖 종류의 실수를 한 번에 잡아 주는 확인법입니다.
5.NBT.B.5Guess And Check정답
441, 576
21 × 21 = 441, 24 × 24 = 576
수의 크기로 따져도 앞뒤가 맞습니다. 441은 20 × 20 = 400과 22 × 22 = 484 사이에 있고 그 사이의 제곱수는 21 × 21뿐이므로 21이라는 크기가 옳습니다. 576은 23 × 23 = 529와 25 × 25 = 625 사이에 있고 24 × 24가 정확히 들어맞습니다. 탈락한 세 수도 크기로 확인됩니다. 236은 15 × 15 = 225와 16 × 16 = 256 사이, 853은 29 × 29 = 841과 30 × 30 = 900 사이, 2904는 53 × 53 = 2809와 54 × 54 = 2916 사이에 끼어 있습니다. 이웃한 두 제곱수 사이에 갇혀 있으니 어떤 자연수를 두 번 곱해도 그 수가 나올 수 없습니다. 일의 자리 규칙도 같은 말을 합니다. 441은 1로, 576은 6으로 끝나 둘 다 허용되는 숫자이고, 853의 3은 제곱수에 결코 나타나지 않습니다.
핵심 정리
수를 소인수로 쪼개 보세요. 모든 소인수가 짝수 번 들어 있으면 똑같은 두 묶음으로 갈라 놓을 수 있고, 한 묶음을 모두 곱한 수가 바로 두 번 곱해서 그 수를 만드는 수입니다.
- 제곱수의 뜻을 소인수의 개수 문제로 바꾸기
- ① 236 소인수분해하기
- ② 441 소인수분해하기
- ③ 853은 일의 자리 숫자로 걸러 내기
- ④ 576 소인수분해하기
- ⑤ 2904 소인수분해하기
- 찾아낸 두 수를 다시 곱해 확인하기
이어서 풀어볼까요