문제
사물함 열고 닫기
1번부터 10번까지 사물함이 모두 닫혀 있습니다. n번째 학생은 n의 배수인 사물함을 찾아가 열림과 닫힘을 뒤집습니다. 학생 열 명이 차례로 지나갑니다. 마지막에 열려 있는 사물함을 구합니다.
사고력 · 초5-1 소인수분해의 활용
내 답
조심 약수는 늘 짝을 이룰 것 같지만 제곱수는 같은 수가 겹쳐 홀수 개가 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 학생 열 명을 순서대로 따라가면 문을 여닫는 일이 백 번 가까이 되어 도중에 헷갈리기 쉽습니다. 그래서 시선을 바꿔 사물함 하나만 붙잡고 '이 사물함은 누구누구의 손을 타는가'라는 훨씬 작은 질문을 던집니다. k번째 학생이 n번 사물함에 오는 것은 k가 n의 약수일 때뿐이므로, 사물함이 뒤집히는 횟수는 곧 그 번호의 약수의 개수입니다. 여기까지 오면 1부터 10까지의 약수의 개수를 빠짐없이 나열하는 것만으로 답이 나오고, 홀수가 나오는 자리를 살펴보면 열려 있는 사물함이 제곱수라는 규칙까지 보입니다. 그 까닭은 약수를 둘씩 짝지어 보면 설명됩니다.
1STEP 1
어떤 사물함에 누가 오는지 뒤집어 생각하기
사물함을 찾아오는 학생은 그 번호의 약수입니다.
6 = 1 × 6 = 2 × 3 → 첫째, 둘째, 셋째, 여섯째 학생
학생 열 명을 다 쫓아다니는 대신 사물함 하나만 지켜보면, 긴 여닫이 흉내 내기가 약수 찾기 문제로 줄어듭니다. 10보다 작은 수의 약수는 1, 2, 3… 순서로 넣어 보기만 하면 4학년도 찾을 수 있습니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
사물함마다 뒤집힌 횟수 세기
사물함마다 뒤집힌 횟수를 세어 적습니다.
1{:}1, 2{:}2, 3{:}2, 4{:}3, 5{:}2, 6{:}4, 7{:}2, 8{:}4, 9{:}3, 10{:}4
짧은 약수 목록 열 개가 백 번의 여닫이를 대신합니다. 번호 순서대로 적어 두면 빠뜨리는 사물함도, 두 번 세는 사물함도 없습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List3STEP 3
뒤집힌 횟수로 열림과 닫힘 정하기
닫힌 채 시작했으니 홀수 번 뒤집혀야 열립니다.
닫힘 → 열림 → 닫힘 → 열림 …
뒤집기는 둘씩 짝을 지어 서로를 지웁니다. 그래서 정확히 몇 번 뒤집혔는지는 중요하지 않고 홀수인지 짝수인지만 보면 됩니다.
2.OA.C.3Look For A Pattern4STEP 4
홀수인 것만 골라내기
홀수인 것은 1, 4, 9번입니다.
1, 3, 3 이 홀수 → 사물함 1, 4, 9
다 적어 놓은 목록에서 홀수만 훑는 일은 아주 간단합니다. 학생 열 명이 지나가는 동안 문 열 개의 상태를 머릿속에 담아 두는 것보다 훨씬 안전합니다.
2.OA.C.3Make A Systematic List5STEP 5
왜 하필 1, 4, 9인지 알아보기
이 셋만 제곱수여서 약수가 홀수 개입니다.
1 = 1 × 1, 4 = 2 × 2, 9 = 3 × 3
약수를 짝지어 보는 일은 양말을 짝 맞추는 일과 같습니다. 전부 둘씩 맞아떨어지는데 딱 하나, 자기가 자기 짝인 것만 남습니다. 그 짝 없는 약수 하나가 문을 열어 둡니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern1번, 4번, 9번 사물함이 열린 채로 남는 까닭은 제곱수만이 약수의 개수가 홀수이기 때문이다.
왜?
약수는 둘씩 짝지어지며, 하나가 짝 없이 남는 유일한 경우는 어떤 수가 자기 자신의 짝일 때다.
🧱약수는 짝을 이룬다약수는 저마다 짝을 함께 내주므로 둘씩 짝지어진다 — 자기 자신이 짝인 경우만 예외다.
왜?
한 번 건드릴 때마다 문이 열림과 닫힘을 오가므로, 마지막 상태를 정하는 것은 건드린 횟수의 홀짝뿐이다.
🧱짝수와 홀수는 정해진 대로 움직인다어떤 자연수든 두 배는 짝수이고 홀수를 더하면 짝수와 홀수가 언제나 뒤바뀌므로, 합의 홀짝은 계산하기 전에 그 부분들로 이미 정해진다.
6STEP 6
학생을 직접 따라가며 확인하기
4번을 따라가 보면 정말 열려 있습니다.
4번 사물함: 열림 → 닫힘 → 열림
열린 사물함 하나와 닫힌 사물함 하나를 손으로 따라가 보면 규칙의 양쪽을 모두 시험한 셈입니다. 그 정도면 약수의 개수로 세는 지름길을 열 개 전부에 믿고 쓸 수 있습니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem정답
1, 4, 9 번
1 × 1, 2 × 2, 3 × 3
답으로 나온 번호는 모두 1번과 10번 사이에 있어야 하는데 실제로 그렇습니다. 열 개 중 세 개만 열려 있다는 것도 자연스럽습니다. 대부분의 수는 약수의 개수가 짝수여서 여닫이가 서로 지워지기 때문입니다. 1번 사물함이 열려 있는 것은 손을 대는 학생이 첫 번째 학생 한 명뿐이니 당연합니다. 결과는 제곱수 규칙과 정확히 맞고, 4번과 6번을 직접 따라가 열린 경우와 닫힌 경우를 모두 확인했습니다. 하나씩 어긋나는 실수의 흔적은 보이지 않습니다.
핵심 정리
문은 홀수 번 뒤집혔을 때에만 열린 채로 끝나고, 그런 일은 제곱수인 1, 4, 9에서만 일어납니다. 다른 수는 약수가 빠짐없이 둘씩 짝을 이루기 때문입니다.
- 어떤 사물함에 누가 오는지 뒤집어 생각하기
- 사물함마다 뒤집힌 횟수 세기
- 뒤집힌 횟수로 열림과 닫힘 정하기
- 홀수인 것만 골라내기
- 왜 하필 1, 4, 9인지 알아보기
- 학생을 직접 따라가며 확인하기
이어서 풀어볼까요