문제
약수의 개수
하세 다이어그램은 어떤 수의 약수를 동그라미로 늘어놓고 화살표 하나가 소인수 하나를 곱하는 것을 뜻하는 그림입니다. 보기로 6은 1, 2, 3, 6 네 동그라미의 정사각형으로, 30은 여덟 동그라미의 정육면체로 그려져 있습니다. 구석의 1에서 출발해 빈 동그라미를 채웁니다. 36과 150의 약수가 몇 개인지 구합니다.
사고력 · 초5-1 소수와 약수
내 답
조심 소인수를 세면 될 것 같지만 지수에 1을 더해 곱해야 약수의 개수가 나옵니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 위에 있는 두 보기가 바로 쉬운 짝 문제입니다. 그림에서 방향 하나가 소수 하나이고, 그 방향으로 한 걸음 가는 것이 그 소수를 한 번 더 쓰는 것임을 보여 주기 때문입니다. 그래서 먼저 두 수를 소인수분해합니다. 그러면 방향이 몇 개 필요한지, 방향마다 얼마나 길게 뻗어야 하는지가 정해집니다. 그다음 동그라미를 채우는 일은 빠짐없이 나열하기에 지나지 않습니다. 동그라미 하나는 '2를 몇 번, 3을 몇 번, 5를 몇 번 쓸까'를 한 번 고른 결과이기 때문입니다. 동그라미를 세는 것과 그 고르는 방법을 세는 것이 같은 셈이고, 그래서 약수의 개수가 약수를 하나씩 적어서가 아니라 (지수+1)들의 곱으로 나오는 것입니다.
1STEP 1
두 보기에서 규칙 읽어 내기
보기에서 동그라미 수가 소인수의 짜임을 따릅니다.
6=2×3 → 동그라미 4개; 30=2×3×5 → 동그라미 8개
설명은 보기가 다 해 줍니다. '오른쪽'이 늘 2 하나를 더 쓰는 것이고 '위'가 늘 3 하나를 더 쓰는 것임을 알아채는 순간, 이 그림은 장식이 아니라 약수를 정리해 넣는 서랍장이 됩니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
36을 소인수분해하기
36은 2가 두 번, 3이 두 번입니다.
36=2×2×3×3=2²×3²
가장 작은 소수로 계속 나누는 것은 가지치기 그림과 같은 일이고, 같은 소수가 몇 번 나왔는지를 지수로 적는 것은 그것을 짧게 쓰는 방법일 뿐입니다.
6.EE.A.1Look For A Pattern3STEP 3
36의 3행 3열 격자 채우기
그래서 그림은 3행 3열이 됩니다.
9 & 18 & 36 ; 3 & 6 & 12 ; 1 & 2 & 4
각 줄은 아랫줄에 3을 곱한 것입니다. 그래서 아랫줄만 채워 놓으면 나머지는 두 배 하고 세 배 하는 정도의 계산이라 머릿속으로도 됩니다.
4.NBT.B.5Draw A Diagram4STEP 4
동그라미가 왜 꼭 9개인지 — 지수로 따지기
약수는 3 × 3 = 9개입니다.
36=2²×3² → (2+1)×(2+1)=3×3=9
잊기 쉬운 것이 +1입니다. 그 소수를 아예 쓰지 않는 것도 어엿한 선택이라서, 지수가 2이면 선택은 둘이 아니라 셋입니다. 격자가 그것을 눈에 보여 줍니다. 아랫줄이 2가 아니라 1에서 시작하니까요.
6.EE.A.1Make A Systematic List약수가 정확히 아홉 개인 까닭은 각 소수의 지수를 0을 포함해 따로따로 고를 수 있기 때문이다.
왜?
어떤 수가 소수로 갈라지는 방법은 하나뿐이므로, 약수는 각 소수를 몇 개씩 가져가는지로 완전히 이름 붙는다.
🧱모든 수의 소인수분해는 하나뿐수를 계속 인수로 쪼개면 어느 쪽부터 쪼갰든 언제나 같은 소수 묶음에 닿는다.
왜?
약수가 2를 몇 개 가져가는지가 3을 몇 개 가져가는지를 제한하지 않으므로, 두 선택의 개수는 곱해진다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
5STEP 5
150을 소인수분해해서 그림의 모양 알아내기
150은 2가 한 번, 3이 한 번, 5가 두 번입니다.
150=2×3×5² → 2×2×3 상자
지수가 상자를 그대로 그려 줍니다. 지수가 1이면 그 변에 동그라미가 2개, 지수가 2이면 3개입니다.
6.EE.A.1Look For A Pattern6STEP 6
150의 동그라미 열두 개 채우기
그래서 동그라미가 12개인 상자 모양이 됩니다.
아래층 1,2,3,6; 가운데층 5,10,15,30; 위층 25,50,75,150
층마다 아래층에 5를 곱한 것이므로, 아래 네 개만 놓으면 나머지 여덟 개는 5를 두 번 곱하는 일로 끝납니다.
4.NBT.B.5Draw A Diagram7STEP 7
150의 약수도 같은 방식으로 세기
약수는 2 × 2 × 3 = 12개입니다.
150=2¹×3¹×5² → (1+1)×(1+1)×(2+1)=2×2×3=12
가짓수를 곱하는 것은 웃옷과 바지를 짝지어 입는 방법을 셀 때와 똑같습니다. 여기서는 줄마다 놓인 것이 소수이고, 고르는 것은 그 소수를 몇 개 쓸지입니다.
6.EE.A.1Make A Systematic List8STEP 8
약수를 하나씩 적어 보며 확인하기
약수를 하나씩 적어도 9개와 12개입니다.
9=(2+1)(2+1) ✓ 12=(1+1)(1+1)(2+1) ✓
수를 하나씩 넣어 약수를 찾는 일은 이미 할 줄 아는 일입니다. 그 목록을 그림과 맞춰 보면 지름길을 믿어도 된다는 것이 확인됩니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List정답
9, 12 개
3 × 3 = 9, 2 × 2 × 3 = 12
답은 그냥 동그라미의 개수이고, 책이 그려 놓은 그림과 맞습니다. 3행 3열 격자에 동그라미 아홉 개, 2 × 2 × 3 상자에 동그라미 열두 개입니다. 크기로도 말이 됩니다. 36은 150보다 작지만 서로 다른 소수가 적은 대신 같은 소수가 여러 번 겹쳐 있어서, 약수의 개수가 9와 12로 그리 벌어지지 않는 것이 자연스럽습니다. 두 경우 모두 서로 다른 두 방법이 같은 수를 가리킵니다. 하나씩 나누어 본 결과는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36의 아홉 개와 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150의 열두 개이고, 지수로 센 결과는 3 × 3 = 9와 2 × 2 × 3 = 12입니다. 구석도 맞습니다. 가장 작은 동그라미는 지수가 모두 0인 1이고, 가장 큰 동그라미는 지수를 끝까지 쓴 그 수 자신입니다.
핵심 정리
소수 하나가 걸어갈 방향 하나입니다. 지수가 e이면 그 방향으로 0걸음, 1걸음, …, e걸음까지 갈 수 있으니, (지수+1)들을 곱하기만 하면 약수를 하나도 적지 않고 다 센 셈이 됩니다.
- 두 보기에서 규칙 읽어 내기
- 36을 소인수분해하기
- 36의 3행 3열 격자 채우기
- 동그라미가 왜 꼭 9개인지 — 지수로 따지기
- 150을 소인수분해해서 그림의 모양 알아내기
- 150의 동그라미 열두 개 채우기
- 150의 약수도 같은 방식으로 세기
- 약수를 하나씩 적어 보며 확인하기
이어서 풀어볼까요