문제
배수 판정법의 활용
527 뒤에 숫자 세 개를 더 붙여 여섯 자리 수를 만듭니다. 그 수는 3의 배수이면서 4의 배수여야 합니다. 동시에 5의 배수이기도 해야 합니다. 조건을 만족하는 가장 작은 수를 구합니다.
사고력 · 초5-1 배수 판정법
내 답
조심 5의 배수라 일의 자리가 0이나 5 같지만 4의 배수이기도 하니 0뿐입니다.
풀이 과정
전략 가능성 지우기 — 후보는 527000부터 527999까지 천 개뿐이고, 배수 판정법 하나하나가 그중 대부분을 지워 냅니다. 그래서 가장 많이 지워 주는 것부터 차례로 적용합니다. 5의 배수 판정법은 일의 자리를 두 가지로 못 박고, 4의 배수 판정법은 끝의 두 자리만 보면 되며, 3의 배수 판정법은 숫자의 합만 보면 됩니다. 조건이 센 것부터 순서대로 걸어 나가면 남는 후보가 몇 개 되지 않아서 그중 가장 작은 것을 고르면 끝납니다. '가장 작다'는 것은 백의 자리가 제일 중요하다는 뜻이므로, ㄱ에 0을 먼저 넣어 보고 안 될 때에만 한 칸씩 올립니다.
1STEP 1
5의 배수 판정법으로 일의 자리 정하기
5의 배수이므로 일의 자리는 0이나 5입니다.
527ㄱㄴㄷ 이 5의 배수 → ㄷ=0 또는 ㄷ=5
5씩 뛰어 세면 언제나 0이나 5로 끝나는 수에 내려앉습니다. 그래서 마지막 숫자 하나만 흘끗 보면 판가름이 나고 나눗셈은 필요 없습니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities2STEP 2
4의 배수 판정법으로 십의 자리 정하기
4의 배수이려면 끝 두 자리가 짝수 십의 자리와 0이어야 합니다.
ㄴ0 ∈ {00, 20, 40, 60, 80} → ㄴ ∈ {0,2,4,6,8}
100 자체가 4의 배수라서, 백의 자리보다 위쪽은 이미 4로 나누어떨어집니다. 그래서 신경 쓸 것이 끝의 두 자리뿐이고, 이 판정법이 그렇게 빠른 것입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities3STEP 3
3의 배수 판정법을 숫자의 합에 적용하기
3의 배수이려면 숫자의 합이 3의 배수여야 합니다.
5+2+7+ㄱ+ㄴ+0 = 14+ㄱ+ㄴ, ㄱ+ㄴ ∈ {1,4,7,10,13,16}
10, 100, 1000은 모두 3의 배수보다 1만큼 큽니다. 그래서 각 자리 숫자가 나머지에 자기 자신만큼만 보태고, 숫자를 다 더하는 것만으로 판정이 됩니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern어떤 수가 3의 배수라는 것은 자릿수의 합이 3의 배수라는 것과 같으므로, 나눗셈 없이 확인할 수 있다.
왜?
10과 100과 1000은 저마다 3의 배수보다 1 크므로, 각 숫자는 나머지에 자기 자신만을 보탠다.
🧱배수 판정은 자리값에서 나온다10, 100, 1000이 나누는 수와 정해진 관계에 있어 특정 자리만 문제가 된다 — 끝 두 자리가 4를, 자릿수의 합이 3과 9를 정한다.
왜?
자릿수의 합이 조건에 맞지 않는 후보는 곧바로 지워지므로, 긴 나눗셈을 시작하기 전에 탐색이 줄어든다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
4STEP 4
백의 자리를 0부터 올려 가며 가장 작은 수 찾기
백의 자리를 0부터 올려 보면 527040이 나옵니다.
ㄱ=0 → ㄴ=4 → 527040
여섯 자리 수의 크기 비교는 자릿값의 문제입니다. 아직 바꿀 수 있는 자리 중 가장 왼쪽이 백의 자리이므로, 그 자리를 작게 만드는 쪽이 뒤의 숫자가 무엇이든 무조건 이깁니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List5STEP 5
527040이 세 조건을 모두 만족하는지 확인하기
세 조건을 모두 만족해 답은 527040입니다.
527040 ÷ 3 = 175680, 527040 ÷ 4 = 131760, 527040 ÷ 5 = 105408
3과 4와 5는 서로 공통인 약수가 없으므로, 셋의 배수라는 말은 3 × 4 × 5 = 60의 배수라는 말과 같습니다. 실제로 527040 = 60 × 8784이니 한 번 확인으로 세 조건이 한꺼번에 확인됩니다.
6.NS.B.4Guess And Check정답
527040
527040 ÷ 3 = 175680
답은 527로 시작하는 여섯 자리 수여야 하는데 527040이 바로 그렇습니다. 3과 4와 5의 배수라는 조건은 60의 배수라는 한 가지 조건과 같습니다. 527000 = 60 × 8783 + 20이므로 527000 이상에서 처음 나오는 60의 배수는 527000 + 40 = 527040입니다. 전혀 다른 길로 갔는데 같은 답이 나왔습니다. 527000과 527040 사이에는 답이 있을 수 없습니다. 그 구간의 수가 5의 배수이려면 일의 자리가 0이어야 하는데 그런 수는 527000뿐이고, 이 수는 숫자의 합이 14라서 3의 배수가 아니기 때문입니다.
핵심 정리
가장 빡빡한 조건부터 거는 것이 요령입니다. 일의 자리가 0으로 정해지고, 십의 자리가 짝수로 좁혀지고 나면, 마지막 숫자 합 규칙에는 확인할 것이 거의 남지 않습니다.
- 5의 배수 판정법으로 일의 자리 정하기
- 4의 배수 판정법으로 십의 자리 정하기
- 3의 배수 판정법을 숫자의 합에 적용하기
- 백의 자리를 0부터 올려 가며 가장 작은 수 찾기
- 527040이 세 조건을 모두 만족하는지 확인하기