문제
오름수와 내림수
34, 16, 248, 359, 2457 다섯 수가 주어집니다. 다섯 수가 함께 지닌 성질을 찾습니다. 같은 성질을 가진 네 자리 수만 봅니다. 5000보다 큰 것을 빠짐없이 모두 적습니다.
사고력 · 초4-1 여러 가지 수 만들기
내 답
조심 5부터 9까지 다 될 것 같지만 7, 8, 9로 시작하면 뒤에 놓을 숫자가 모자랍니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — (1)은 숨은 규칙을 찾아내는 문제다. 그래서 각 수의 숫자를 하나씩 견주어 보면서 다섯 수에 한꺼번에 들어맞는 설명을 찾는다. 규칙을 알아내고 나면 (2)는 찾기 문제로 바뀐다. 5000보다 큰 네 자리 수는 오천 개 가까이 되니 하나씩 확인할 수는 없다. 그러니 먼저 규칙을 써서 천의 자리 숫자를 통째로 지워 내고, 그러고 나서 살아남은 경우만 정해진 순서대로 적는다. 순서를 정해 두면 빠뜨리는 수도, 두 번 적는 수도 생기지 않는다.
1STEP 1
각 수의 숫자를 하나씩 견주어 보기
다섯 수 모두 숫자가 왼쪽에서 오른쪽으로 커집니다.
3 ＜ 4, 1 ＜ 6, 2 ＜ 4 ＜ 8, 3 ＜ 5 ＜ 9, 2 ＜ 4 ＜ 5 ＜ 7
수는 결국 숫자를 죽 늘어놓은 것이다. 그러니 이웃한 두 숫자를 견주는 일은 계산 없이 눈으로만 해도 된다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern2STEP 2
규칙을 말로 정리하고, 그 규칙이 무엇을 막는지 보기
그래서 같은 숫자도, 0도 쓸 수 없습니다.
규칙을 '무엇이 안 되는가'로 바꿔 말해 두면 (2)의 찾기가 훨씬 짧아진다. 수천 개를 하나씩 확인하는 일을 규칙이 대신해 주는 셈이다.
4.NBT.A.2Look For A Pattern3STEP 3
천의 자리에 올 수 있는 숫자 따져 보기
5000보다 크려면 천의 자리가 5 이상이어야 합니다.
첫 숫자보다 위에 숫자가 몇 개 남아 있는지 세는 일은 0부터 9까지 늘어놓은 수직선의 한 토막을 읽는 것과 같다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
될 수 없는 천의 자리 숫자 지우기
7, 8, 9는 뒤에 놓을 숫자가 모자라 지워집니다.
7→{8,9}: 2 ＜ 3, 8→{9}: 1 ＜ 3, 9→{ }: 0 ＜ 3
필요한 숫자의 개수와 남아 있는 숫자의 개수를 견주기만 하면 천 개씩 묶인 구간이 세 덩어리나 한꺼번에 정리된다. 그 안의 수는 단 하나도 적어 볼 필요가 없다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities아직 필요한 숫자의 개수와 아직 남은 숫자의 개수를 견주면 천 개짜리 구간을 통째로 한꺼번에 지울 수 있다.
왜?
첫 자리 뒤의 숫자는 반드시 더 커야 하므로 숫자들이 올라가고, 그것들을 모두 담을 만큼 맨 앞 숫자 위에 자리가 있어야 한다.
🧱순서의 추이성첫째가 둘째보다 작고 둘째가 셋째보다 작으면 첫째는 셋째보다 작다 — 둘씩 비교한 것이 하나의 순서로 이어진다.
왜?
위에 남은 큰 숫자가 모자라는 맨 앞 숫자는 수를 하나도 적지 않고 곧바로 버려진다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
5STEP 5
5로 시작하는 수를 모두 적기
5로 시작하는 수는 5678, 5679, 5689, 5789입니다.
5678, 5679, 5689, 5789
가장 큰 것부터 차례로 빼 나가듯 순서를 정해 두면, 목록이 완전하다는 것을 스스로 보장할 수 있다.
4.OA.C.5Make A Systematic List6STEP 6
6으로 시작하는 수를 모두 적기
6으로 시작하는 수는 6789 하나뿐입니다.
6789
필요한 개수와 가진 개수가 똑같으면 방법은 하나뿐이다. 나열해 볼 것도 없다.
4.OA.C.5Make A Systematic List7STEP 7
두 경우를 합치기
모으면 모두 5개입니다.
4 + 1 = 5
천의 자리 숫자로 경우를 갈라 두었기 때문에 같은 수가 두 묶음에 동시에 들어갈 수 없다. 그래서 개수를 그냥 더해도 안전하다.
4.OA.C.5Make A Systematic List정답
5678, 5679, 5689, 5789, 6789
4 + 1 = 5
적어 놓은 다섯 수는 모두 5000보다 크고, 숫자도 실제로 계속 커진다. 5 ＜ 6 ＜ 7 ＜ 8, 5 ＜ 6 ＜ 7 ＜ 9, 5 ＜ 6 ＜ 8 ＜ 9, 5 ＜ 7 ＜ 8 ＜ 9, 6 ＜ 7 ＜ 8 ＜ 9이다. 이런 수가 많을 리도 없다. 5부터 9까지 다섯 숫자만으로 서로 다른 네 숫자를 커지는 순서로 뽑아야 하니 여유가 거의 없기 때문이다. 숫자 묶음을 세어 봐도 다섯 개가 맞는다. {5,6,7,8,9}에서 네 숫자를 고르되 가장 작은 숫자가 5이거나 6인 경우는 4 + 1 = 5가지이고, 한 묶음을 커지는 순서로 늘어놓는 방법은 오직 하나뿐이다.
핵심 정리
숨은 규칙에 이름을 붙이는 순간, 그 규칙이 대신 찾아 줍니다. '숫자가 계속 커져야 한다' 한마디에 수천 개가 사라지고 딱 다섯 개만 남지요!
- 각 수의 숫자를 하나씩 견주어 보기
- 규칙을 말로 정리하고, 그 규칙이 무엇을 막는지 보기
- 천의 자리에 올 수 있는 숫자 따져 보기
- 될 수 없는 천의 자리 숫자 지우기
- 5로 시작하는 수를 모두 적기
- 6으로 시작하는 수를 모두 적기
- 두 경우를 합치기
이어서 풀어볼까요