문제
겹쳐진 도형
정사각형 세 개가 한 점을 함께 꼭짓점으로 가집니다. 시계 방향으로 센 반직선 여섯 개 가운데 1번과 4번, 2번과 5번, 3번과 6번이 각각 한 정사각형의 두 변입니다. 양 끝의 두 각이 45도와 25도로 주어집니다. 가운데 세 각 ㉠, ㉡, ㉢을 구합니다.
사고력 · 초4-2 도형의 이동과 각도
내 답
조심 90도가 한 조각일 것 같지만 정사각형의 각은 여러 조각에 걸쳐 있습니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 정사각형 세 개가 한 점에 몰려 있으면 뒤엉켜 보이지만, 정사각형 하나하나가 하는 말은 아주 단순합니다. "내 두 반직선은 90° 벌어져 있다"뿐이지요. 그러니 그림 전체와 씨름하는 대신 정사각형을 하나씩 떼어 냅니다. 작은 문제 세 개, 곧 "이 세 각을 더하면 90°"라는 문장 세 개가 나옵니다. 그다음 이 세 문장을 다시 정리해 보면, 두 문장이 거의 같은 각들을 나누어 가지고 있어서 하나에서 다른 하나를 빼면 모르는 각이 한 번에 하나씩 벗겨집니다.
1STEP 1
여섯 반직선을 차례로 세우고 다섯 각에 이름 붙이기
여섯 반직선을 차례로 세우고 다섯 각에 이름을 붙입니다.
반직선 1,2,3,4,5,6 각 45°, ㉠, ㉡, ㉢, 25°
반직선을 먼저 차례대로 세워 놓으면 어지럽게 겹친 그림이 한 줄로 늘어선 목록이 됩니다. 그러면 정사각형 하나는 그 목록에서 자리 두 개일 뿐입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram여섯 반직선을 순서대로 늘어놓으면 얽힌 그림이 더하고 뺄 수 있는 다섯 개의 틈이 된다.
왜?
한 점 둘레에 나란히 놓인 각들은 이어 붙인 길이와 똑같이 합쳐진다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
왜?
각 틈은 이웃한 반직선 한 쌍 사이에 정확히 하나씩 놓이므로, 순서대로 놓인 여섯 반직선은 틈을 다섯 개만 만든다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
정사각형마다 하는 말을 식으로 적기
정사각형마다 90도짜리 식이 하나씩 나옵니다.
45° + ㉠ + ㉡ = 90°, ㉠ + ㉡ + ㉢ = 90°, ㉡ + ㉢ + 25° = 90°
정사각형이 꼭짓점에서 내놓는 것은 직각 하나뿐이고, 큰 각은 그 안에 들어 있는 작은 각들의 합입니다. 그래서 정사각형 하나가 짧은 덧셈식 하나로 바뀝니다.
4.G.A.2Identify Subproblems3STEP 3
첫째 정사각형에서 ㉠ + ㉡ 구하기
첫째 식에서 ㉠ + ㉡ = 45도입니다.
㉠ + ㉡ = 90° - 45° = 45°
각각의 크기는 아직 몰라도 둘을 합한 값을 알아낸 것만으로 큰 진전입니다. 게다가 그 덩어리가 바로 다음 식에 그대로 다시 나옵니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems4STEP 4
그 값을 둘째 정사각형에 넣어 ㉢ 구하기
둘째 식에 넣으면 ㉢은 45도입니다.
45° + ㉢ = 90° → ㉢ = 45°
모르는 각 두 개를 이미 아는 덩어리로 바꿔 넣으면 모르는 것이 셋인 식이 하나짜리 식이 됩니다. 덧셈에서 '2 + 3'을 '5'로 바꿔 쓰는 것과 똑같은 요령입니다.
4.MD.C.7Organize Information In More Ways5STEP 5
셋째 정사각형으로 ㉡ 구하기
셋째 식에서 ㉡은 20도입니다.
㉡ + 45° + 25° = 90° → ㉡ = 90° - 70° = 20°
모르는 것 하나가 정해지고 나면, 그것과 함께 들어 있던 식은 한 번의 뺄셈으로 풀립니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems6STEP 6
다시 돌아와 ㉠ 구하기
돌아와 ㉠은 25도입니다.
㉠ = 45° - 20° = 25°
3단계에서 잠시 세워 두었던 덩어리가 마지막에 다시 쓰입니다. 도중에 알아낸 것 가운데 버릴 것이 하나도 없었던 셈입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
25, 20, 45 도
90 − 45 = 45, 90 − 70 = 20
세 답 모두 0보다 크고 90°보다 훨씬 작은데, 그림에서 다섯 각이 정사각형의 직각 안에 얇게 끼워진 모습과 잘 맞습니다. 세 정사각형의 식에 답을 되넣어도 모두 맞습니다. 첫째 정사각형은 45° + 25° + 20° = 90°, 둘째 정사각형은 25° + 20° + 45° = 90°, 셋째 정사각형은 20° + 45° + 25° = 90°입니다. 크기를 한 번 더 살펴보면, 1번 반직선에서 6번 반직선까지 부챗살 전체는 45° + 25° + 20° + 45° + 25° = 160°로 왼쪽 수평 방향에서 오른쪽 방향까지의 평각 180°보다 넉넉히 작습니다. 그림에서 6번 반직선이 수평으로 눕지 않고 오른쪽 위로 비스듬히 올라간 것과 일치합니다.
핵심 정리
정사각형의 꼭짓점은 언제나 딱 90°예요. 그래서 겹쳐 놓인 정사각형 하나하나가 짧은 덧셈식이 되고, 모르는 각이 한 개씩 차례로 튀어나온답니다.
- 여섯 반직선을 차례로 세우고 다섯 각에 이름 붙이기
- 정사각형마다 하는 말을 식으로 적기
- 첫째 정사각형에서 ㉠ + ㉡ 구하기
- 그 값을 둘째 정사각형에 넣어 ㉢ 구하기
- 셋째 정사각형으로 ㉡ 구하기
- 다시 돌아와 ㉠ 구하기
이어서 풀어볼까요