문제
접힌 도형
가로로 긴 직사각형 종이를 접는 선을 따라 한 번 접었습니다. 오른쪽 부분 전체가 왼쪽 위로 넘어갑니다. 접힌 뒤 생긴 삼각형을 봅니다. 그 삼각형이 어떤 삼각형인지 밝힙니다.
사고력 · 초4-2 도형의 이동과 각도
내 답
조심 접는 각도에 따라 달라질 것 같지만 어떻게 접어도 이등변삼각형이 됩니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 잰 값이 하나도 없으니 쓸 수 있는 정보는 접기가 보장해 주는 것뿐이다. 종이띠를 실제로 똑같이 접어 보면 그 보장이 눈에 보인다. 접는 선이 거울 노릇을 하므로, 접는 선이 아래쪽 변과 이루는 각이 크기 그대로 접힌 변과 이루는 각으로 다시 나타난다. 그다음에는 직사각형의 두 긴 변이 평행하다는 점이 그 각을 엇각으로 위쪽 변까지 올려 준다. 이렇게 얻은 두 등식을 이으면 삼각형의 두 밑각이 손에 들어오고, 두 밑각을 견주어 보면 삼각형의 이름이 정해진다.
1STEP 1
종이띠를 직접 접어 접는 선이 거울임을 보기
접는 선이 거울이라 양쪽 각이 같습니다.
∠ ㄷㄴㅁ' = ∠ ㄷㄴㅁ
접기는 거울이다. 거울은 각의 크기를 바꾸지 않으니, 접는 선은 언제나 원래 변과 그 변이 옮겨 간 자리의 한가운데에 놓인다.
8.G.A.1Create A Physical Representation2STEP 2
접힌 변에서 삼각형의 점 ㄴ의 각 읽어 내기
그래서 삼각형의 한 밑각이 정해집니다.
∠ ㄱㄴㄷ = ∠ ㅁ'ㄴㄷ = ∠ ㄷㄴㅁ
반직선 위에 점을 하나 찍는다고 반직선이 가리키는 방향이 달라지지는 않는다. 그러니 점 ㅁ′ 대신 점 ㄱ으로 이름을 붙여도 같은 각이다.
4.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
직사각형의 평행한 두 변으로 그 각을 점 ㄷ까지 올리기
위아래 변이 나란해 그 각을 반대쪽으로 옮깁니다.
∠ ㄴㄷㄱ = ∠ ㄷㄴㅁ
곧은 직선 하나가 평행한 두 직선을 가로지르면 두 만나는 자리에 같은 각이 되풀이된다. 접는 선의 기울기는 아래쪽 변에서 읽든 위쪽 변에서 읽든 똑같다는 뜻이다.
8.G.A.5Identify Subproblems아래쪽 변에서 읽은 각은 위쪽 변으로 올라가는데, 띠의 두 긴 변이 평행하기 때문이다.
왜?
접힌 선이 두 긴 변을 모두 가로지르고, 한 직선이 두 평행선을 가로지르면 두 교차점에서 같은 각이 되풀이된다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
왜?
접기 자체는 각의 크기를 바꾸지 않으므로, 접힌 선의 기울기는 어디에서 재도 같다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
4STEP 4
두 밑각 견주어 보기
두 밑각이 같으니 두 변도 같습니다.
∠ ㄱㄴㄷ = ∠ ㄱㄷㄴ → ㄱㄴ = ㄱㄷ
두 밑각의 크기가 같다는 것은 삼각형을 왼쪽에서 보나 오른쪽에서 보나 똑같아 보인다는 뜻이다. 가운데 선을 접었을 때 자기 자신과 포개지는 도형은 길이가 같은 두 변을 가진다.
4.G.A.2Identify Subproblems5STEP 5
접은 종이로 확인하기
그러므로 언제나 이등변삼각형입니다.
33° + 33° + 114° = 180°
두 밑각의 크기가 정말 같다면, 종이 삼각형을 위쪽 꼭짓점을 지나는 선으로 접었을 때 기울어진 두 변이 서로 정확히 겹쳐야 한다.
8.G.A.5Create A Physical Representation정답
이등변삼각형
답이 수가 아니라 도형의 이름인데, 이는 문제가 요구한 그대로다. 잰 값이 하나도 적혀 있지 않으니 애초에 어떤 수도 정해질 수 없으므로 이것이 옳다. 설명도 흔들리지 않는다. 접는 선을 더 가파르게 긋거나 더 눕혀 그으면 점 ㄴ의 각과 점 ㄷ의 각이 똑같은 크기만큼 함께 변해서 계속 서로 같으므로, 접는 선을 어디에 긋더라도 삼각형은 이등변삼각형으로 남는다. 그려진 그림을 재 보아도 들어맞는다. 두 밑각이 각각 33°쯤으로 같게 나오고 점 ㄱ에는 114°쯤이 남아 합이 180°가 된다.
핵심 정리
종이띠를 비스듬한 선으로 접으면 그 기울기가 두 번 나타나요. 한 번은 거울처럼 접혀서, 한 번은 평행한 두 변을 타고서요. 그래서 생기는 작은 삼각형은 늘 두 변의 길이가 같답니다.
- 종이띠를 직접 접어 접는 선이 거울임을 보기
- 접힌 변에서 삼각형의 점 ㄴ의 각 읽어 내기
- 직사각형의 평행한 두 변으로 그 각을 점 ㄷ까지 올리기
- 두 밑각 견주어 보기
- 접은 종이로 확인하기
이어서 풀어볼까요