문제
평행사변형과 사다리꼴
평행사변형 ㄱㄴㄷㄹ이 그려져 있습니다. 마주 보는 두 각에 표시가 되어 있습니다. 수의 크기는 하나도 주어지지 않습니다. 마주 보는 두 각이 같은 까닭을 밝힙니다.
사고력 · 초4-2 다각형과 각도
내 답
조심 각을 재어 같다고 말하고 싶지만 재는 것은 까닭이 아닙니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 비교해야 할 두 각은 서로 마주 보는 꼭짓점, 곧 가장 멀리 떨어진 자리에 있어서 둘을 한 번에 이어 주는 직선이 없습니다. 그림에 선 하나만 더 그으면 이 문제가 풀립니다. 변 ㄴㄷ을 꼭짓점 ㄷ 너머로 늘여 새로운 점 ㅁ을 잡는 것입니다. 그러면 평행사변형 바깥쪽 꼭짓점 ㄷ에 새 각이 하나 생기는데, 이 각은 평행선의 각 관계에서 원래 두 각 모두와 바로 이웃한 사이가 됩니다. 각 ㄱㄴㄷ과 각 ㄱㄹㄷ을 곧바로 견주는 대신, 이 다리 역할을 하는 각과 각각 견주면 됩니다. 풀 수 없는 문제 하나가 쉬운 문제 둘로 바뀌는 셈입니다.
1STEP 1
'평행사변형'이 실제로 약속하는 것 적어 두기
평행사변형은 마주 보는 변이 나란하다는 약속입니다.
변 ㄱㄹ ∥ 변 ㄴㄷ 그리고 변 ㄱㄴ ∥ 변 ㄹㄷ
그림이 아니라 뜻에서 출발했기 때문에, 이 설명은 눈앞에 그려진 한 개가 아니라 모든 평행사변형에 통합니다.
4.G.A.2Organize Information In More Ways2STEP 2
아래 변을 늘여 다리 역할을 할 각 만들기
아래 변을 늘여 다리 역할을 할 각을 만듭니다.
점 ㄴ, ㄷ, ㅁ은 한 직선 위에 있습니다
변을 늘리는 데는 아무 대가도 들지 않으면서, 평행사변형의 두 변이 완전한 직선으로 바뀝니다. 평행선의 각 성질을 쓰려면 바로 그 직선이 필요합니다.
4.G.A.2Draw A Diagram3STEP 3
첫째 작은 문제: 각 ㄱㄴㄷ = 각 ㄹㄷㅁ
한쪽 나란함으로 각 ㄱㄴㄷ과 같습니다.
∠ ㄱㄴㄷ = ∠ ㄹㄷㅁ (변 ㄱㄴ ∥ 변 ㄹㄷ)
가로지르는 직선을 따라 점 ㄴ에서 점 ㄷ까지 그림 전체를 그대로 밀면 두 번째 평행선에 딱 포개집니다. 그러니 모든 각이 자기 복사본 위에 내려앉습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems아래쪽 변을 늘이면 B의 각과 같은 중간 각이 생기는데, 도형의 두 변이 평행하기 때문이다.
왜?
늘인 선이 두 평행한 변을 가로지르므로, 그 선이 두 변과 이루는 각은 서로 같다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
왜?
중간 각이 첫 각과 같고 둘째 각과도 같다면, 첫 각과 둘째 각은 서로 같아야 한다.
🧱같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.
4STEP 4
둘째 작은 문제: 각 ㄱㄹㄷ = 각 ㄹㄷㅁ
다른 나란함으로 각 ㄱㄹㄷ과도 같습니다.
∠ ㄱㄹㄷ = ∠ ㄹㄷㅁ (변 ㄱㄹ ∥ 변 ㄴㄷ)
변 ㄹㄷ의 한가운데를 중심으로 그림을 반 바퀴 돌리면 한 평행선이 다른 평행선 위로 옮겨 갑니다. 그러니 안쪽에서 서로 엇갈려 있는 두 각은 같을 수밖에 없습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems5STEP 5
두 작은 문제를 하나로 잇기
둘을 이으면 마주 보는 두 각은 서로 같습니다.
∠ ㄱㄴㄷ = ∠ ㄹㄷㅁ = ∠ ㄱㄹㄷ → ∠ ㄱㄴㄷ = ∠ ㄱㄹㄷ
알 수 없는 두 가지를 공통의 세 번째 것과 견주어 비교하는 방법은 아이들도 길이를 잴 때 이미 쓰는 수법입니다. '내 막대도 문짝만 하고 네 막대도 문짝만 하니 우리 막대는 길이가 같다'와 똑같습니다.
8.G.A.5Organize Information In More Ways정답
두 각은 같습니다
설명에 쓴 것이 평행사변형의 뜻뿐이므로 이 논증은 그림이 어떻게 그려졌는지에 기대지 않습니다. 평행사변형을 더 기울이거나 덜 기울여도 모든 단계가 그대로 읽힙니다. 특별한 경우에도 맞습니다. 직사각형이라면 네 각이 모두 90도이므로 마주 보는 각이 당연히 같고, 아주 납작하게 많이 기울어진 평행사변형이라면 예각 둘이 서로 마주 보고 둔각 둘이 서로 마주 보는데 이것이 바로 이 논증이 예측하는 모습입니다. 이웃한 두 각의 합이 180도라는 또 다른 평행사변형의 성질과도 어긋나지 않습니다. 각 ㄱㄴㄷ + 각 ㄴㄷㄹ = 180도인데 마주 보는 각이 서로 다르다면 네 각의 합이 360도가 되지 못하기 때문입니다.
핵심 정리
크기를 잴 수 없는 두 각이 각각 같은 세 번째 각과 크기가 같다면, 그 두 각도 서로 같을 수밖에 없습니다. 평행사변형에서 마주 보는 각이 같은 이유가 바로 이것입니다.
- '평행사변형'이 실제로 약속하는 것 적어 두기
- 아래 변을 늘여 다리 역할을 할 각 만들기
- 첫째 작은 문제: 각 ㄱㄴㄷ = 각 ㄹㄷㅁ
- 둘째 작은 문제: 각 ㄱㄹㄷ = 각 ㄹㄷㅁ
- 두 작은 문제를 하나로 잇기
이어서 풀어볼까요