문제
마름모
합동인 마름모 10개를 한 점 둘레에 빙 돌아가며 이어 붙였습니다. 빈틈도 겹침도 없이 한 바퀴가 꽉 찹니다. 안쪽 선을 모두 지워 뾰족한 점이 10개인 별이 남았습니다. 표시된 두 각 ㉠과 ㉡을 구합니다.
사고력 · 초4-2 다각형과 각도
내 답
조심 ㉡도 마름모의 한 각일 것 같지만 안쪽 꼭짓점에는 큰 각 두 개가 모여 남은 자리입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 이 문제를 여는 열쇠는 지워진 선을 다시 그려 넣는 것 하나입니다. 한가운데 점을 찍고 안쪽으로 들어간 꼭짓점까지 살을 10개 그으면 마름모 10개가 되살아납니다. 마름모가 보이는 순간 문제는 세 개의 작은 물음으로 갈라집니다. 한가운데에 놓인 마름모의 각은 얼마인가, 뾰족한 점에 놓인 마름모의 각은 얼마인가, 안쪽 꼭짓점에는 어떤 각들이 모이는가. 이 사슬이 맞는지 확인하려고 마름모 개수가 더 적은 경우부터 먼저 해 봅니다. 그런 경우는 눈으로도 답을 알 수 있습니다.
1STEP 1
지워진 선을 다시 그려 넣기
지워진 안쪽 선을 다시 그려 넣습니다.
별에서 달라진 것은 없습니다. 선을 지웠을 뿐입니다. 그 선을 도로 그으면 낯선 20각형 테두리가, 각의 규칙을 이미 알고 있는 도형 10개로 바뀝니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
더 적은 개수로 먼저 해 보기
마름모 수가 적은 별로 규칙을 먼저 봅니다.
360° ÷ 4 = 90°, 360° ÷ 6 = 60°
머릿속으로 그릴 수 있는 경우, 이를테면 정사각형 넷이 한 점에 모인 그림으로 먼저 시험해 보면 10개짜리에 이 방법을 쓰기 전에 방법 자체가 옳다는 것을 확인할 수 있습니다.
4.MD.C.7Solve An Easier Related Problem3STEP 3
한가운데에 놓인 마름모의 각 구하기
한가운데 각은 360 ÷ 10 = 36도입니다.
360° ÷ 10 = 36°
한 점에 모인 각은 피자 조각처럼 더해집니다. 한 바퀴를 똑같이 열로 나누는 것은 나눗셈 한 번이면 끝나는 일입니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems열 개의 마름모가 중심을 공유하므로, 각각의 중심각은 한 바퀴의 10분의 1이다.
왜?
열 개의 중심각은 중심 둘레의 한 바퀴를 빈틈도 겹침도 없이 채운다.
🧱한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
왜?
열 개의 마름모가 똑같으므로 한 바퀴가 열 개의 같은 몫으로 잘리고, 각 각은 그중 하나다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
4STEP 4
㉠은 한가운데 각과 마주 보는 각
㉠은 그 마주 보는 각이라 36도입니다.
각 ㉠ = 36°
식 없이도 보입니다. 마름모를 한가운데를 중심으로 반 바퀴 돌리면 자기 자신에 그대로 포개지는데, 그때 한가운데 쪽 꼭짓점이 뾰족한 쪽 꼭짓점으로 옮겨 갑니다. 그러니 두 각은 같을 수밖에 없습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems5STEP 5
마름모의 나머지 두 각 구하기
마름모의 큰 각은 144도입니다.
180° - 36° = 144°
마름모의 한 변을 따라 이웃한 꼭짓점으로 걸어가 보세요. 떠나온 변과 도착한 변이 서로 평행하므로, 두 각이 합쳐져 반 바퀴, 곧 평평한 각이 됩니다.
7.G.B.5Identify Subproblems6STEP 6
㉡, 안쪽 꼭짓점에 모이는 각 살펴보기
안쪽 꼭짓점에서 ㉡은 72도입니다.
360° - (144° + 144°) = 360° - 288° = 72°
어느 점에 서든 한 바퀴는 360도입니다. 도형이 한 바퀴 가운데 얼마를 차지하는지 알면, 남은 틈은 뺄셈 한 번으로 나옵니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
36, 72 도
360 ÷ 10 = 36, 360 − 288 = 72
두 답 모두 각의 크기이고, 눈으로 본 느낌과도 맞습니다. 뾰족한 점은 날카로워 보이는데 36도는 날카롭고, 홈은 그보다 넓지만 여전히 직각에는 못 미치는데 72도가 그렇습니다. 더 강한 확인도 있습니다. 별의 테두리는 20각형이므로 내각의 합은 (20 - 2) × 180 = 3240도여야 합니다. 이 20각형의 내각은 36도짜리 뾰족한 각 10개와, 안쪽에서 잰 360 - 72 = 288도짜리 각 10개입니다. 더하면 10 × 36 + 10 × 288 = 360 + 2880 = 3240도로 정확히 맞습니다. 또 하나, 마름모 하나의 네 각은 36도, 144도, 36도, 144도이고 합이 360도이니 사각형의 내각의 합과도 어긋나지 않습니다.
핵심 정리
지워진 선을 다시 그려 넣으세요. 똑같은 도형 10개가 한 바퀴를 나누어 가지니 360 ÷ 10이고, 별에 있는 나머지 각은 모두 이 수 하나에서 따라 나옵니다.
- 지워진 선을 다시 그려 넣기
- 더 적은 개수로 먼저 해 보기
- 한가운데에 놓인 마름모의 각 구하기
- ㉠은 한가운데 각과 마주 보는 각
- 마름모의 나머지 두 각 구하기
- ㉡, 안쪽 꼭짓점에 모이는 각 살펴보기
이어서 풀어볼까요