문제
평행선과 크기가 같은 각
그림 위쪽에 직선 ㄹㅁ이 지나갑니다. 삼각형 ㄱㄴㄷ의 꼭짓점 ㄱ이 그 직선 위에 있습니다. 밑변 ㄴㄷ은 직선 ㄹㅁ과 나란합니다. 삼각형의 세 각의 합이 180도임을 밝힙니다.
사고력 · 초4-2 평행선과 각도
내 답
조심 각을 재어 더하고 싶지만 이 문제는 왜 그런지를 밝히라는 것입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 삼각형의 세 각은 서로 멀리 떨어진 세 꼭짓점에 흩어져 있어서, 그대로는 합이 얼마인지 볼 방법이 없다. 이 문제를 풀어 주는 것이 점 ㄱ을 지나는 평행선이다. 이 직선 덕분에 점 ㄴ에 있는 각과 점 ㄷ에 있는 각을 크기 그대로 점 ㄱ으로 옮겨 올 수 있다. 세 각이 모두 점 ㄱ 한 곳에 나란히 모이고 그 자리가 곧은 직선 위라면 합은 저절로 드러난다. 그래서 할 일은 '각 ㄱㄴㄷ 올리기'와 '각 ㄱㄷㄴ 올리기'라는 작은 문제 두 개, 그리고 곧은 직선에 대한 쉬운 관찰 하나로 쪼개진다.
1STEP 1
더해야 할 세 각의 이름부터 정하기
점 ㄱ에는 이미 세 각이 곧은 선 위에 나란히 있습니다.
∠ ㄴㄱㄷ + ∠ ㄱㄴㄷ + ∠ ㄱㄷㄴ = 180° ?
어떤 세 각을 말하는지 정확히 적어 두고, 그림에 덤으로 그어진 선이 평행선 하나뿐임을 알아채는 것. 여기서 설명 전체의 방향이 잡힌다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
점 ㄱ에 이미 나란히 놓인 세 각 찾기
그 세 각의 합은 180도입니다.
∠ ㄹㄱㄴ + ∠ ㄴㄱㄷ + ∠ ㄷㄱㅁ = 180°
곧은 직선은 반 바퀴를 돈 것이니 180°다. 나란히 붙은 각들은 그대로 더해지므로, 한 점에서 직선 한쪽을 가득 채운 각들의 합은 언제나 180°가 된다.
7.G.B.5Identify Subproblems3STEP 3
변 ㄱㄴ을 따라 점 ㄴ의 각을 점 ㄱ으로 올리기
변 ㄱㄴ을 따라 ㄴ의 각이 왼쪽 각과 같습니다.
∠ ㄹㄱㄴ = ∠ ㄱㄴㄷ
평행한 두 직선은 서로 가까워지지도 멀어지지도 않는다. 그러니 어떤 직선이 지나가더라도 두 직선을 똑같은 기울기로 만나게 되고, 두 만나는 자리에서 짝이 되는 각의 크기도 같을 수밖에 없다.
8.G.A.5Organize Information In More WaysB의 각은 변 AB를 따라 A로 밀어 올릴 수 있는데, A에 그은 보조선이 BC와 평행하기 때문이다.
왜?
변 AB가 두 평행선을 가로지르므로, 한쪽과 이루는 각이 다른 쪽과 만나는 곳에서 되풀이된다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
왜?
세 각이 모두 A를 지나는 직선 위에 나란히 놓이면 그 직선을 채우므로 합이 180도가 된다.
🧱평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
4STEP 4
변 ㄱㄷ을 따라 점 ㄷ의 각을 점 ㄱ으로 올리기
변 ㄱㄷ을 따라 ㄷ의 각이 오른쪽 각과 같습니다.
∠ ㄷㄱㅁ = ∠ ㄱㄷㄴ
똑같은 평행선의 성질을 왼쪽 오른쪽만 바꾸어 한 번 더 쓴 것이다. 설명은 하나뿐이고 그것을 기울어진 두 변에 차례로 적용했을 뿐이다.
8.G.A.5Organize Information In More Ways5STEP 5
같은 크기의 각으로 바꿔 넣고 180° 읽어 내기
바꿔 넣으면 세 각의 합은 180도입니다.
∠ ㄱㄴㄷ + ∠ ㄴㄱㄷ + ∠ ㄱㄷㄴ = ∠ ㄹㄱㄴ + ∠ ㄴㄱㄷ + ∠ ㄷㄱㅁ = 180°
크기가 똑같은 각으로 바꿔 넣어도 합은 달라지지 않는다. 그래서 점 ㄱ의 직선이 가지고 있던 180°가 그대로 삼각형의 세 꼭짓점으로 옮겨 간다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
180 도
설명하는 동안 잰 값은 하나도 쓰지 않았으므로 이 설명은 모양이 어떤 삼각형에나 통한다. 삼각형의 세 각의 크기의 합이 180°라는 사실 자체가 모든 삼각형에서 성립해야 하니 이것이 맞다. 그려진 그림에 각도기를 대 보아도 들어맞는다. 점 ㄱ에서 약 80°, 점 ㄴ에서 약 46°, 점 ㄷ에서 약 54°가 나오고 80°+46°+54°=180°다. 설명의 짜임도 한 번 짚어 보자. 직선 ㄹㅁ이 없으면 점 ㄴ의 각을 점 ㄱ으로 올려 놓을 방법이 사라져 세 각을 한 점에 모을 수가 없다. 평행선이 반드시 있어야 하는 까닭이 여기에 있다.
핵심 정리
꼭대기 꼭짓점을 지나는 평행선을 그으면 아래쪽 두 각을 그대로 위로 밀어 올릴 수 있어요. 곧은 선 위에 나란히 모인 세 각은 언제나 180°랍니다.
- 더해야 할 세 각의 이름부터 정하기
- 점 ㄱ에 이미 나란히 놓인 세 각 찾기
- 변 ㄱㄴ을 따라 점 ㄴ의 각을 점 ㄱ으로 올리기
- 변 ㄱㄷ을 따라 점 ㄷ의 각을 점 ㄱ으로 올리기
- 같은 크기의 각으로 바꿔 넣고 180° 읽어 내기
이어서 풀어볼까요