문제
평행선 이용하기
직사각형 ㄱㄴㄷㄹ 안에 곧은 선분 2개가 그어져 서로 만납니다. 첫째 선분은 위쪽 변에서 아래쪽 변으로 내려가며 위쪽 변의 ㄱ 쪽과 130도를 이룹니다. 둘째 선분은 아래쪽 변에서 꼭짓점 ㄹ로 올라가며 아래쪽 변의 ㄴ 쪽과 150도를 이룹니다. 두 선분이 만나는 각 ㉠과, ㄹ에서 그 선분과 변 ㄹㄷ이 이루는 각 ㉡을 구합니다.
사고력 · 초4-2 평행선과 각도
내 답
조심 삼각형에서 구한 각을 그대로 쓰고 싶지만 표시된 것은 그 이웃 각일 때가 많습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 먼저 그림을 다시 그리면서 이름이 없는 점 세 개와 교점에 이름을 붙입니다. 첫째 선분이 위쪽 변에서 떠나는 점을 ㅁ, 아래쪽 변에 닿는 점을 ㅂ, 둘째 선분이 아래쪽 변에서 떠나는 점을 ㅅ, 두 선분이 만나는 점을 ㅇ이라 합니다. 이름이 붙고 나면 얽혀 보이던 그림이 쉬운 작은 문제 두 개로 갈라집니다. 하나는 직각삼각형 ㅅㄷㄹ로 여기서 ㉡이 곧바로 나오고, 다른 하나는 아래쪽 변에 올라앉은 작은 삼각형 ㅇㅂㅅ으로 여기서 ㉠이 나옵니다. 각 삼각형에는 세 각의 합 180도와, 적힌 각도를 필요한 자리로 옮겨 주는 일직선 성질이나 평행선 성질 하나면 충분합니다.
1STEP 1
일할 점 네 개에 이름 붙이기
일할 점 네 개에 이름을 붙입니다.
∠ ㄱㅁㅂ = 130°, ∠ ㄴㅅㄹ = 150°
각은 점 세 개로 이름을 붙이기 때문에, 그림의 모든 모퉁이에 이름이 생기기 전에는 아무것도 식으로 적을 수 없습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
점 ㅅ에서 150도를 반대쪽으로 돌리기
150도를 돌리면 이웃 각은 30도입니다.
∠ ㄹㅅㄷ = 180° - 150° = 30°
한 직선 위에 나란히 놓인 두 각은 언제나 둘이서 180도를 꽉 채웁니다. 그래서 하나를 알면 나머지는 바로 나옵니다.
7.G.B.5Identify Subproblems3STEP 3
직각삼각형 ㅅㄷㄹ을 풀어 ㉡ 구하기
직각삼각형에서 ㉡은 60도입니다.
㉡ = ∠ ㅅㄹㄷ = 180° - 90° - 30° = 60°
직각삼각형에서는 직각 하나가 180도의 절반을 써 버리므로 나머지 두 각이 90도를 나누어 가집니다. 한쪽이 30도면 다른 쪽은 60도일 수밖에 없습니다.
8.G.A.5Identify Subproblems4STEP 4
130도를 위쪽 변에서 아래쪽 변으로 옮기기
위아래 변이 나란해 130도를 아래로 옮깁니다.
∠ ㅁㅂㄷ = ∠ ㄱㅁㅂ = 130°
하나의 직선이 평행한 두 직선을 자르면 두 교점에서 각의 모양이 똑같이 생깁니다. 그래서 위쪽 변에서 안 각도는 아래쪽 변에서도 저절로 알게 됩니다.
8.G.A.5Identify Subproblems위쪽 변에서 찾은 130도는 아래쪽 변으로 그대로 내려오는데, 직사각형의 두 긴 변이 평행하기 때문이다.
왜?
한 직선이 두 평행선을 가로지르면 두 교차점에서 서로 대응하는 각이 생기므로, 한쪽에서 아는 값은 다른 쪽에서도 알려진다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
왜?
그 각이 아래쪽 변에 놓이고 나면 이웃한 각들과 더하거나 뺄 수 있는데, 각의 크기가 길이처럼 합쳐지기 때문이다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
5STEP 5
점 ㅂ에서 그 130도를 반대쪽으로 돌리기
그 각을 돌리면 50도가 됩니다.
∠ ㅁㅂㅅ = ∠ ㅁㅂㄴ = 180° - 130° = 50°
여기서도 일직선입니다. 선분이 한쪽으로 기울면 오른쪽에서 남긴 만큼 왼쪽에서 가져가므로, 점 ㅂ에서의 두 각은 합쳐서 180도가 되어야 합니다.
7.G.B.5Identify Subproblems6STEP 6
작은 삼각형 ㅇㅂㅅ 풀기
작은 삼각형에서 교점의 각은 100도입니다.
∠ ㅅㅇㅂ = 180° - 30° - 50° = 100°
이미 아는 두 각이 같은 밑변의 양 끝에 나란히 놓였으니, 삼각형의 180도 가운데 남은 몫이 그대로 교점에게 돌아갑니다.
8.G.A.5Identify Subproblems7STEP 7
교점에서 반대쪽으로 뒤집어 ㉠ 구하기
반대쪽으로 뒤집으면 ㉠은 80도입니다.
㉠ = 180° - ∠ ㅅㅇㅂ = 180° - 100° = 80°
반직선 ㅇㅅ과 반직선 ㅇㄹ은 점 ㅇ을 지나는 한 선분의 두 쪽이므로, 그 선분의 한쪽에 생긴 각과 다른 쪽에 생긴 각은 늘 합쳐서 180도가 됩니다.
7.G.B.5Identify Subproblems정답
80, 60 도
180 − 100 = 80, 180 − 90 − 30 = 60
두 답 모두 0도보다 크고 180도보다 작으니 도형 안의 각으로 알맞습니다. 그림과도 잘 맞습니다. ㉡의 호는 직각의 절반보다 조금 넓어 보이는데 60도가 딱 그 정도이고, ㉠의 호는 직각보다 조금 좁아 보이는데 80도가 딱 그 정도입니다. 계산도 서로 어긋나지 않습니다. 삼각형 ㅇㅂㅅ에서 30도 + 50도 + 100도 = 180도이고, 삼각형 ㅅㄷㄹ에서 30도 + 90도 + 60도 = 180도입니다. 깔끔한 확인이 하나 더 있습니다. ㉠은 삼각형 ㅇㅂㅅ의 점 ㅇ에서의 외각이므로 멀리 있는 두 각의 합과 같아야 하는데, 30도 + 50도 = 80도로 그대로 나옵니다. 끝으로 ㉡을 구할 때 130도를 한 번도 쓰지 않았다는 점도 눈여겨볼 만합니다. 첫째 선분을 옮겨도 ㄹ과 ㅅ은 움직이지 않으니 당연한 일입니다.
핵심 정리
평행한 두 변은 각도를 그림의 반대편까지 공짜로 실어 나르고, 삼각형은 두 각만 알면 나머지 한 각을 180도에서 빼서 그냥 내줍니다.
- 일할 점 네 개에 이름 붙이기
- 점 ㅅ에서 150도를 반대쪽으로 돌리기
- 직각삼각형 ㅅㄷㄹ을 풀어 ㉡ 구하기
- 130도를 위쪽 변에서 아래쪽 변으로 옮기기
- 점 ㅂ에서 그 130도를 반대쪽으로 돌리기
- 작은 삼각형 ㅇㅂㅅ 풀기
- 교점에서 반대쪽으로 뒤집어 ㉠ 구하기
이어서 풀어볼까요