문제
보조선 긋기
평행한 두 직선 가와 나가 위아래로 그려져 있습니다. 선이 직선 가를 지나 두 직선 사이의 한 점에서 한 번 꺾입니다. 꺾인 뒤 다시 내려가 직선 나를 지납니다. 꺾인 점의 각 ㉠을 구합니다.
사고력 · 초4-2 평행선과 각도
내 답
조심 두 각을 바로 견주고 싶지만 보조선을 긋기 전에는 이어지지 않습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 주어진 두 각은 모두 꺾인 점에서 멀리 떨어져 있어서, 그림을 그대로 두고서는 두 각을 ㉠까지 이어 줄 길이 없습니다. 방법은 그림에 선을 하나 더 긋는 것입니다. 꺾인 점을 지나면서 직선 가, 직선 나와 평행한 보조선을 그으면 한 번에 두 가지 일이 됩니다. 하나는 ㉠을 위쪽 조각과 아래쪽 조각으로 나누는 일이고, 다른 하나는 각 조각마다 주어진 각과 짝이 되는 엇각을 만들어 주는 일입니다. 그러면 ㉠은 따로따로 풀 수 있는 작은 문제 둘의 합이 됩니다.
1STEP 1
꺾인 점을 지나는 보조선 긋기
꺾인 점에 두 직선과 나란한 보조선을 긋습니다.
가 ∥ 다 ∥ 나
그림에 선을 더 긋는 것은 언제든 해도 되는 일입니다. 이미 있는 두 직선과 평행하게 그은 선이라면 그 둘을 이어 주는 다리 노릇을 하기에 딱 알맞습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram꺾인 점을 지나 주어진 두 선과 평행한 보조선을 그으면 둘이 이어진다.
왜?
주어진 두 선과 모두 평행한 선은 각각과 일정한 간격을 유지하므로, 어느 쪽과도 만나지 않고 그 사이에 설 수 있다.
🧱평행선의 간격은 일정하다두 평행선은 결코 만나지 않으며 어디에서 재도 둘 사이 거리는 같다.
왜?
이제 주어진 두 선은 각각 다른 선의 평행선을 가로지르므로, 꺾인 점의 각이 이미 아는 각을 되풀이한다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
2STEP 2
㉠을 위쪽 조각과 아래쪽 조각으로 쪼개기
보조선이 ㉠을 위아래 두 조각으로 나눕니다.
㉠ = (위쪽 조각) + (아래쪽 조각)
각 안쪽으로 반직선을 그어 둘로 나누면 원래 각은 두 작은 각의 합이 됩니다. 각의 크기는 길이와 똑같이 더할 수 있습니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems3STEP 3
위쪽 조각은 45°
위쪽 조각은 45도입니다.
위쪽 조각 = 45°
한 직선이 평행한 두 직선을 자를 때, 두 번째 교점에서 보이는 모습은 첫 번째 교점의 모습을 반 바퀴 돌려 놓은 것과 같습니다. 그러니 안쪽에서 짝을 이루는 각의 크기가 같을 수밖에 없습니다.
8.G.A.5Draw A Diagram4STEP 4
아래쪽 조각은 60°
아래쪽 조각은 60도입니다.
180° - 120° = 60°
나란히 붙어서 직선의 한쪽을 가득 채우는 두 각의 합은 언제나 180°입니다. 그래서 뺄셈 한 번이면 엉뚱한 자리에 있던 각이 정작 필요한 각으로 옮겨 옵니다.
7.G.B.5Draw A Diagram5STEP 5
두 조각 더하기
더하면 ㉠은 105도입니다.
㉠ = 45° + 60° = 105°
두 조각만 알면 마무리는 덧셈 한 번입니다. 어려운 대목은 보조선을 어디에 그을지 고르는 데 이미 다 지나갔습니다.
4.MD.C.7Identify Subproblems정답
105 도
45 + 60 = 105
105°는 직각보다 조금 큰 둔각인데, 이는 그림과 잘 맞습니다. 꺾인 점의 두 팔은 분명히 90°보다 넓게 벌어져 있지만 일직선과는 거리가 멉니다. 두 조각도 따로 보면 그럴듯합니다. 위쪽 팔은 눕지도 서지도 않은 딱 가운데 기울기인 45°이고, 아래쪽 팔은 눈에 띄게 더 가파르니 60°가 어울립니다. 크기로도 확인이 됩니다. 45°+60°=105°는 180°보다 작으므로 선이 곧게 뻗지 않고 정말로 꺾인다는 뜻이고, 이는 그림 그대로입니다.
핵심 정리
평행한 두 직선 사이에 꺾인 점이 있으면 그 점을 지나는 평행선을 하나 더 그어 보세요. 알 수 없던 각이 이미 알고 있는 두 조각으로 갈라진답니다.
- 꺾인 점을 지나는 보조선 긋기
- ㉠을 위쪽 조각과 아래쪽 조각으로 쪼개기
- 위쪽 조각은 45°
- 아래쪽 조각은 60°
- 두 조각 더하기
이어서 풀어볼까요