문제
정삼각형과 이등변삼각형의 개수
점 15개가 한 변에 5개씩 놓인 큰 정삼각형 모양으로 찍혀 있습니다. 이웃한 두 점 사이의 거리는 모두 같습니다. 돌리거나 뒤집어 겹치면 같은 것으로 셉니다. 점을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초4-2 점을 이어 만든 도형의 개수
내 답
조심 줄과 나란한 것만 세기 쉽지만 기울어진 정삼각형도 있습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 돌리기와 뒤집기를 허용하므로 정삼각형은 한 변의 길이 하나로 완전히 결정됩니다. 그래서 변이 점의 줄과 나란히 놓인 것과 줄을 비스듬히 가로지르는 것, 이렇게 두 경우로 나누어 찾고, 각 경우 안에서는 작은 것부터 차례로 키워 갑니다. 이렇게 하면 빠뜨리는 것도 없고 같은 것을 두 번 그리는 일도 없습니다.
1STEP 1
경우 1: 변이 점의 줄과 나란한 정삼각형
줄과 나란한 것은 변이 1, 2, 3, 4로 4가지입니다.
1, 2, 3, 4
가장 작은 것부터 한 칸씩 키워 가는 것이 가장 자연스러운 순서이고, 어디서 멈춰야 하는지는 점판의 변이 알려 줍니다.
4.G.A.2Make A Systematic List2STEP 2
거꾸로 놓인 정삼각형은 새로운 것이 아니다
거꾸로 놓인 것은 돌리면 같아 새롭지 않습니다.
세 변의 길이가 같으면 크기도 모양도 같은 도형입니다. 꼭짓점이 어느 쪽을 향하는지는 도형을 다르게 만들지 못합니다.
4.G.A.2Visualize Spatial Relationships거꾸로 선 삼각형은 바로 선 삼각형을 뒤집은 같은 모양이므로, 새로 셀 종류가 아니다.
왜?
삼각형을 뒤집어도 모든 변의 길이와 각이 그대로이므로, 뒤집힌 복사본은 자리만 새로운 같은 삼각형이다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
서로 포갤 수 있는 것끼리 무리 지으면 모든 삼각형이 정확히 한 무리에 들어가 세어진다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
3STEP 3
경우 2: 기울어진 정삼각형 찾기
변을 비스듬히 잡아도 정삼각형이 됩니다.
비스듬한 변의 길이를 일일이 재지 않아도 됩니다. 1/3바퀴 회전이 비스듬한 변 하나를 다음 변으로 포개 주니 세 변의 길이가 같을 수밖에 없습니다.
4.G.A.1Draw A Diagram4STEP 4
기울어진 경우를 작은 것부터 차례로 살펴보기
기울어진 것은 작은 것부터 세어 2가지입니다.
1 + 1 = 2
기울어진 정삼각형은 반드시 자기를 감싸는 가장 작은 똑바로 놓인 정삼각형 안에 갇혀 있습니다. 그러니 한 변이 2칸, 3칸, 4칸인 똑바로 놓인 정삼각형만 차례로 살펴보면 하나도 빠뜨리지 않습니다.
4.G.A.2Make A Systematic List5STEP 5
답 모으기
모두 4 + 2 = 6가지입니다.
4 + 2 = 6
빈 점판이 6개라는 것은 언제 목록이 다 찼는지 문제가 조용히 알려 주는 신호입니다.
4.G.A.1Make A Systematic List정답
6 가지
4 + 2 = 6
기울어진 두 정삼각형의 크기는 똑바로 놓인 것들 사이에 끼어 있어야 하는데 실제로 그렇습니다. 첫 번째 기울어진 것은 한 변 3칸짜리 안에 들어 있으니 한 변이 1칸과 2칸 사이이고, 두 번째는 한 변 4칸인 점판 안에 들어 있으니 2칸과 3칸 사이입니다. 6가지라는 결과는 문제와 함께 주어진 빈 점판 6개와도 딱 맞아떨어집니다. 점 15개짜리 점판 위의 정삼각형을 자리까지 따져 컴퓨터로 모두 세면 35개가 나오는데, 이들의 크기는 정확히 6종류로 갈리고 여기서 찾은 6가지와 같습니다.
핵심 정리
먼저 종류를 나누고(똑바로 놓인 것, 기울어진 것) 작은 것부터 큰 것 순서로 찾으세요. 그러면 6가지를 하나도 빠뜨리지 않고, 같은 것을 두 번 그리지도 않습니다.
- 경우 1: 변이 점의 줄과 나란한 정삼각형
- 거꾸로 놓인 정삼각형은 새로운 것이 아니다
- 경우 2: 기울어진 정삼각형 찾기
- 기울어진 경우를 작은 것부터 차례로 살펴보기
- 답 모으기
이어서 풀어볼까요