문제
도형 맞추기
칠교판 일곱 조각으로 가로가 세로의 2배인 직사각형을 만들어 두었습니다. 오른쪽에 직각삼각형, 평행사변형, 사다리꼴을 만들 빈 칸이 이어집니다. 한 번에 조각 하나만 옮길 수 있습니다. 어느 조각을 옮겨야 하는지 구합니다.
사고력 · 초4-2 도형 퍼즐
내 답
조심 작은 조각이 옮기기 쉬울 것 같지만 옮겨야 할 넓이가 커서 큰 삼각형만 가능합니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 모눈종이에 직사각형을 그려 조각마다 꼭짓점의 자리를 적어 두고, 그 위에 만들어야 할 도형을 겹쳐 그립니다. 그러면 직사각형이 아직 덮지 못한 부분이 곧 옮긴 조각이 메워야 할 구멍입니다. 옮길 조각이 저절로 정해지고, 크기까지 잴 수 있습니다. 이렇게 하면 후보가 일곱 개뿐인 문제로 바뀌는데, 넓이만 견주어도 그 가운데 다섯이 한꺼번에 지워집니다. 마지막에는 일곱 조각을 종이로 오려 실제로 밀어 보면 눈으로 확인이 끝납니다.
1STEP 1
가로 8, 세로 4인 틀 위에서 일곱 조각의 넓이 재기
일곱 조각의 넓이를 합하면 32입니다.
8 + 8 + 4 + 4 + 4 + 2 + 2 = 32 = 8 × 4
겹치지 않는 조각들의 넓이는 그냥 더하면 되고, 모눈 위의 직각삼각형은 언제나 둘러싼 직사각형의 절반입니다. 둘 다 3학년에서 배우는 넓이 이야기입니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram2STEP 2
이어지는 세 도형도 넓이는 모두 32
이어지는 세 도형도 넓이가 모두 32입니다.
1/2 × 8 × 8 = 32
넓이는 단위 정사각형을 센 수인데, 조각을 다시 늘어놓는다고 정사각형이 늘거나 줄지는 않습니다. 그래서 전체 넓이는 끝까지 기댈 수 있는 값입니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram사슬에 놓인 모든 도형의 넓이는 똑같이 32인데, 언제나 조각 하나만 옮길 뿐 더하거나 잃는 것이 없기 때문이다.
왜?
도형은 조각들을 빈틈도 겹침도 없이 합친 것이므로, 전체 넓이는 어떤 조각이 있느냐로 정해진다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
조각을 밀거나 돌리거나 뒤집으면 자기 복사본 위에 포개지므로, 넓이도 그대로 따라간다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
3STEP 3
목표 직각삼각형을 직사각형 위에 포개 보기
겹쳐 보면 옮겨야 할 넓이는 8입니다.
32 - 8 = 24 만큼 겹침, 옮겨야 할 넓이 = 8
바뀌기 전 그림과 바뀐 뒤 그림을 포개면 구멍과 튀어나온 부분이 한눈에 드러납니다. 그다음은 두 넓이를 견주기만 하면 됩니다.
3.MD.C.7Draw A Diagram4STEP 4
일곱 조각 가운데 크기가 맞는 것은 둘뿐
넓이가 8인 조각은 큰 삼각형 둘뿐입니다.
ㄱ = 8, ㅅ = 8; ㄴ = ㄹ = 2, ㄷ = ㅁ = ㅂ = 4
후보가 일곱뿐이니 하나씩 확인해 볼 수 있고, 넓이라는 수 하나만으로 그 가운데 다섯이 한꺼번에 지워집니다.
4.G.A.2Eliminate Possibilities5STEP 5
같은 큰 삼각형을 한 번 더 옮겨 평행사변형 만들기
같은 삼각형을 다시 옮기면 평행사변형이 됩니다.
밑변 8 × 높이 4 = 32
평행사변형인지 아닌지는 평행한 변이 두 쌍인지로 정해집니다. 직사각형인지는 종이 모서리를 대 보아 직각인 꼭짓점이 있는지만 살피면 되니, 4학년도 손으로 가릴 수 있습니다.
5.G.B.4Draw A Diagram6STEP 6
한 번 더 옮겨 사다리꼴 만들기
한 번 더 옮기면 사다리꼴이 됩니다.
1/2 × (4 + 12) × 4 = 32
일곱 조각을 종이로 오려 큰 삼각형을 세 자리에 실제로 옮겨 보면, 평행한 변이 한 쌍인지 두 쌍인지가 계산이 아니라 눈으로 보이는 일이 됩니다.
5.G.B.4Create A Physical Representation7STEP 7
작은 조각으로는 왜 안 되는가
작은 조각은 넓이가 모자라 큰 직각삼각형뿐입니다.
8 ＞ 4 ＞ 2
크기를 견주면 해 볼 필요조차 없는 수를 미리 지울 수 있습니다. 놓을 자리를 찾아 헤매는 것보다 훨씬 빠릅니다.
4.G.A.2Eliminate Possibilities정답
큰 직각삼각형 하나
32 − 24 = 8
이어지는 도형의 테두리마다 넓이가 32인지 확인했습니다. 처음 가로 8, 세로 4인 직사각형과 같으니 종이가 새로 생기거나 사라진 곳이 없습니다. 세 도형이 저마다 이름의 뜻에 맞는지도 따져 보았습니다. 첫째 도형은 (0, 4)에 직각인 꼭짓점이 있어 직각삼각형이고, 둘째 도형은 평행한 변이 두 쌍이면서 직각인 꼭짓점은 없으니 직사각형이 아닌 평행사변형이며, 셋째 도형은 위아래 변만 평행하니 평행사변형이 아닌 사다리꼴입니다. 옮긴 조각은 세 자리 어디에서나 직각을 낀 두 변이 4인 직각삼각형이라 구멍에 빈틈도 겹침도 없이 들어맞습니다.
핵심 정리
새로 만들 도형을 원래 도형 위에 포개 보세요. 남는 부분이 어느 조각을 옮겨야 하는지 그대로 알려 주는데, 여기서는 큰 삼각형만 그만큼 큽니다.
- 가로 8, 세로 4인 틀 위에서 일곱 조각의 넓이 재기
- 이어지는 세 도형도 넓이는 모두 32
- 목표 직각삼각형을 직사각형 위에 포개 보기
- 일곱 조각 가운데 크기가 맞는 것은 둘뿐
- 같은 큰 삼각형을 한 번 더 옮겨 평행사변형 만들기
- 한 번 더 옮겨 사다리꼴 만들기
- 작은 조각으로는 왜 안 되는가
이어서 풀어볼까요