문제
조건이 있는 최단거리의 가짓수
길 지도는 가로 5칸, 세로 4칸인 격자입니다. 집은 왼쪽 아래, 학교는 오른쪽 위 꼭짓점입니다. 서점은 집에서 오른쪽 3칸, 위로 3칸인 자리입니다. 서점을 지나 학교까지 가는 최단 경로의 가짓수를 구합니다.
사고력 · 초4-2 최단거리의 가짓수
내 답
조심 두 토막의 가짓수를 더하고 싶지만 앞뒤가 자유롭게 짝지어지므로 곱해야 합니다.
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기 — 반드시 들러야 하는 곳이 있으면 길이 집에서 서점까지와 서점에서 학교까지 두 토막으로 갈라지고, 두 토막은 서로 간섭하지 않습니다. 그러니 각각을 따로 세어 합치는 것이 자연스럽습니다. 앞 토막은 하나씩 적어 보기에는 너무 크므로, 교차점마다 거기까지 가는 방법의 수를 적어 나가면서 '어떤 교차점의 수는 그 왼쪽 수와 아래쪽 수를 더한 값'이라는 규칙을 씁니다. 뒤 토막은 아주 작아서 그냥 빠짐없이 적어 보면 끝납니다. 마지막에 두 수를 곱하면 답이 나옵니다.
1STEP 1
'최단 거리'가 허락하는 것 살펴보기
최단 거리는 오른쪽 5칸, 위로 4칸뿐입니다.
5 + 4 = 9 칸; 3 + 2 = 5, 3 + 1 = 4
최단 거리란 뒤로 물러서지 않는다는 뜻이므로, 걷는 일은 결국 개수 세기가 됩니다. 순서가 어떻든 오른쪽 5걸음, 위쪽 4걸음입니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram2STEP 2
서점에서 길을 두 토막으로 자르기
서점에서 길을 두 토막으로 자릅니다.
반드시 들러야 하는 곳은 모든 길이 지나가야 하는 문과 같습니다. 문 앞쪽과 문 뒤쪽을 따로 세면 모든 길을 빠짐없이, 그리고 한 번씩만 세게 됩니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems서점에서 여정을 둘로 자르면 두 절반을 따로 세어 곱할 수 있다.
왜?
서점까지 어떻게 왔는지가 떠나는 길을 제한하지 않으므로, 모든 앞 절반이 모든 뒤 절반과 이어질 수 있다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
왜?
모든 길이 서점을 정확히 한 번 지나므로, 거기서 자르면 각 길이 정확히 한 쌍의 절반으로 이름 붙는다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
3STEP 3
집에서 서점까지는 지도 위에 수를 더해 가며 세기
집에서 서점까지는 20가지입니다.
1 & 4 & 10 & 20 ; 1 & 3 & 6 & 10 ; 1 & 2 & 3 & 4 ; 1 & 1 & 1 & 1
어떤 교차점에는 왼쪽에서 오거나 아래에서 오는 수밖에 없으니, 거기까지 가는 방법의 수는 그 두 이웃까지 가는 방법의 수를 더한 것입니다. 그래서 두 번 세지도, 빠뜨리지도 않습니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern4STEP 4
서점에서 학교까지는 빠짐없이 적어 보기
서점에서 학교까지는 3가지입니다.
오오위, 오위오, 위오오 → 3
걸음이 모두 세 번뿐이니 길을 정하는 일은 곧 세 걸음 중 어느 것을 위쪽 걸음으로 삼을지 정하는 일이고, 그 자리는 세 곳입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List5STEP 5
두 토막을 다시 잇기
곱하면 20 × 3 = 60가지입니다.
20 × 3 = 60
앞 토막 하나하나가 뒤 토막 전부와 짝을 이루는데, 이렇게 똑같은 묶음이 여러 개 있는 것을 세는 것이 바로 곱셈입니다.
3.OA.A.1Identify Subproblems정답
60 가지
20 × 3 = 60
60은 길의 가짓수이니 자연수로 나온 것이 맞고, 들러야 할 곳이 없을 때의 가짓수보다는 작아야 합니다. 같은 덧셈 규칙을 가로 5칸, 세로 4칸인 지도 전체에 적용하면 집에서 학교까지 최단 거리가 모두 126가지인데, 60은 그 절반도 되지 않습니다. 서점이 지도 한가운데에서 꽤 비껴 있어 서점을 지나지 않는 길이 많으니 그럴 만합니다. 크기 어림으로도 맞습니다. 앞 토막만 20가지, 뒤 토막은 3가지뿐이라 20 × 3 = 60은 126보다 훨씬 작습니다. 컴퓨터로도 두 가지 방법, 곧 격자를 채우는 방법과 길을 하나씩 모두 적어 보는 방법으로 세어 보았는데 둘 다 60이 나왔고, 두 토막도 위와 똑같이 20과 3으로 갈렸습니다.
핵심 정리
반드시 들러야 하는 곳이 있으면 길이 두 토막으로 갈립니다. 토막마다 따로 세고 나서 두 수를 곱하면 됩니다.
- '최단 거리'가 허락하는 것 살펴보기
- 서점에서 길을 두 토막으로 자르기
- 집에서 서점까지는 지도 위에 수를 더해 가며 세기
- 서점에서 학교까지는 빠짐없이 적어 보기
- 두 토막을 다시 잇기
이어서 풀어볼까요