문제
길의 가짓수
길 그림은 가로 2칸, 세로 2칸짜리 격자입니다. 가운데 가로길은 왼쪽 절반에만 있습니다. 왼쪽 아래 꼭짓점 ㉠에서 오른쪽 위 꼭짓점 ㉡까지 최단 거리로 갑니다. 서로 다른 길이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초4-2 최단거리의 가짓수
내 답
조심 여섯 가지가 다 될 것 같지만 가운데 길이 끊겨 두 가지가 지워집니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 최단거리로 가려면 오른쪽 아니면 위로만 가야 하므로, 모든 길은 오른쪽 두 번과 위쪽 두 번을 어떤 순서로 늘어놓느냐로 정해집니다. 그러면 길을 아무렇게나 찾아 헤맬 것 없이 정해진 순서대로 나열할 수 있고, 이것이 빠뜨리거나 같은 길을 두 번 그리는 실수를 막아 줍니다. 나열한 결과는 두 가지 방법으로 다시 확인합니다. 하나는 갈림길마다 그곳까지 오는 방법의 수를 적어 가며 더해 나가는 방법이고, 다른 하나는 완전한 격자였다면 나왔을 가짓수에서 없는 길 때문에 죽어 버린 길을 빼는 방법입니다.
1STEP 1
최단거리로 가려면 오른쪽과 위로만 간다
최단 거리는 오른쪽 2번, 위로 2번입니다.
2 칸(오른쪽) + 2 칸(위쪽) = 4 칸
갈림길마다 두 수로 이름을 붙이면 그림이 셀 수 있는 것으로 바뀝니다. '되돌아가지 않는다'는 규칙도 분명해집니다. 한 걸음마다 두 수 가운데 하나는 반드시 커져야 하니까요.
4.G.A.1Draw A Diagram가장 짧은 길은 오른쪽과 위로만 갈 수 있는데, 다른 방향으로 가면 나중에 되돌려야 하기 때문이다.
왜?
전체 여정은 한 걸음씩을 이어 붙인 것이고, 잘못된 방향의 걸음은 되돌아오는 여분의 걸음으로 값을 치러야 한다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
그런 헛걸음 짝이 든 길은 그렇지 않은 길보다 길므로, 그런 길은 모두 한꺼번에 지워진다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
없는 길 조각을 짚어 두기
가운데 오른쪽 절반 길이 없습니다.
이 문제는 없는 조각 하나에 모든 것이 달려 있습니다. 그러니 손가락으로 그 자리를 짚으며 어느 두 점을 이었어야 할 길인지 소리 내어 말해 보는 것이 가장 안전한 첫걸음입니다.
4.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
네 걸음의 순서를 나열하고 안 되는 것 지우기
여섯 순서 중 두 가지가 지워집니다.
순서 6가지 - 막힌 2가지 = 길 4가지
완전한 격자라면 몇 가지인지 먼저 세고 망가진 경우만 덜어 내는 편이 처음부터 하나하나 따져 보는 것보다 훨씬 빠릅니다. 게다가 길이 끊긴 대가가 정확히 두 가지라는 것까지 알려 줍니다.
4.OA.A.3Change Focus Count The Complement4STEP 4
더해 가며 확인하기
수를 더해 가며 세어도 4가지입니다.
(1,1)=1+1=2, (2,1)=1, (1,2)=1+2=3, ㉡=3+1=4
어느 갈림길에 이르든 그곳에서 끝나는 길들 가운데 하나를 타고 들어와야 하니 방법의 수는 그냥 더해집니다. 끊긴 길도 저절로 드러납니다. 한 방향에서만 수를 받는 갈림길이 바로 그 자리입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern5STEP 5
네 가지 길을 그림 하나에 하나씩 그리기
네 길을 실제로 그려 보면 모두 다릅니다.
UURR, URUR, RUUR, RRUU
바깥쪽으로 도는 길부터 그리고 꺾이는 횟수가 많은 것을 뒤에 그리는 식으로 순서를 정해 두면, 네 그림이 정말로 다르고 빠뜨린 것도 없다는 것이 보장됩니다.
4.G.A.1Make A Systematic List정답
4 가지
6 − 2 = 4
구하는 것이 길의 가짓수이니 작은 자연수가 나와야 하는데 4가 나왔고, 이는 문제에 인쇄된 빈 그림의 개수와 정확히 같습니다. 책이 몇 개를 그려야 하는지 슬쩍 알려 준 셈입니다. 서로 다른 두 방법의 결과도 일치합니다. 순서 여섯 가지에서 없는 길을 지나야 하는 두 가지를 빼면 4이고, 갈림길마다 더해 가는 방법으로도 ㉡에서 3+1=4가 나옵니다. 완전한 2×2 격자였다면 6가지였을 텐데 그보다 적다는 것도 자연스럽습니다. 길을 없애면 다닐 수 있는 방법이 줄어들 뿐 늘어날 수는 없으니까요. 그린 길은 모두 4칸이고, 이는 오른쪽 2칸에 위로 2칸이라는 최단거리와 같습니다.
핵심 정리
최단거리란 오른쪽 아니면 위로만 간다는 뜻이에요. 그러니 걸음의 순서를 모두 적어 놓고, 없는 길을 지나야 하는 것만 지우면 된답니다.
- 최단거리로 가려면 오른쪽과 위로만 간다
- 없는 길 조각을 짚어 두기
- 네 걸음의 순서를 나열하고 안 되는 것 지우기
- 더해 가며 확인하기
- 네 가지 길을 그림 하나에 하나씩 그리기