문제
입체도형에서의 최단거리의 가짓수
같은 정육면체 둘을 이어 붙인 철사 틀입니다. 뒤쪽에 숨은 모서리도 모두 철사입니다. 개미가 ㉠에서 ㉡까지 철사를 따라 최단 거리로 갑니다. 서로 다른 길이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초4-2 최단거리의 가짓수
내 답
조심 보이는 면만 따라가기 쉽지만 뒤쪽 숨은 모서리도 똑같이 갈 수 있습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 먼저 숨은 모서리까지 하나도 빠뜨리지 않고 그린 그림을 새로 그립니다. 철사가 뒤에 가려 있다는 이유로 경로를 놓치는 일이 없도록 하기 위해서입니다. 그러고 나면 이 틀이 사실은 평면의 길 그림을 세 방향으로 접어 놓은 것과 다르지 않다는 것이 보입니다. ㉠에서 쓸모 있는 걸음은 오른쪽, 뒤쪽, 아래쪽뿐이기 때문입니다. 그러면 문제가 평면의 격자에서 최단 경로를 세는 더 쉬운 문제와 같아집니다. 출발점에 1을 쓰고, 꼭짓점마다 그리로 올 수 있는 꼭짓점의 수를 더해 적어 나가면 됩니다. 마지막으로 네 걸음의 순서를 빠짐없이 나열해 합이 맞는지 따로 확인합니다.
1STEP 1
숨은 철사까지 그리고 꼭짓점 세기
숨은 철사까지 그리면 꼭짓점이 12개입니다.
3 × 2 × 2 = 12 개의 꼭짓점, 철사 20개
정육면체 두 개를 붙이면 정사각형 면 하나를 함께 씁니다. 속이 찬 상자라면 가려졌을 모서리까지 다 그려 두는 것이 경로를 빠뜨리지 않는 비결입니다.
1.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
최단 경로의 길이 알아내기
최단 경로는 철사 4개를 지납니다.
2 + 1 + 1 = 4 개의 철사
방향마다 얼마나 가야 하는지 더하면 최소 걸음 수가 나옵니다. 평면의 길 그림에서 최단거리를 잴 때와 똑같습니다.
4.OA.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
격자에서 쓰던 규칙 그대로 쓰기: 들어오는 길의 수를 더한다
격자에서처럼 들어오는 길의 수를 더합니다.
(어떤 꼭짓점까지의 가짓수) = (그리로 올 수 있는 꼭짓점들의 가짓수의 합)
모든 경로는 마지막 철사 하나로 끝납니다. 그러니 어느 철사로 들어왔는지에 따라 경로를 묶어 두면, 세는 일이 덧셈으로 바뀝니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem어떤 꼭짓점에 이르는 길의 수는 그곳으로 들어오는 꼭짓점들에 이르는 길의 수를 더한 것이다.
왜?
그 꼭짓점에 이르는 모든 길은 거기서 끝나는 선 가운데 정확히 하나를 따라 들어오므로, 어느 선을 썼는지로 길이 나뉜다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
왜?
들어오는 꼭짓점에 이르는 각 길은 이 꼭짓점에 이르는 길 하나로 정확히 이어지므로, 개수가 그대로 넘어온다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
4STEP 4
꼭짓점마다 수를 채워 넣기
꼭짓점마다 수를 차례로 채워 넣습니다.
2 + 2 + 2 = 6, 1 + 2 = 3
㉠에서 가까운 순서대로 채우면, 어떤 꼭짓점에 이를 때 그리로 들어오는 꼭짓점의 수가 이미 다 적혀 있게 됩니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram5STEP 5
㉡에 적힌 수 읽기
㉡에 적힌 수는 12입니다.
6 + 3 + 3 = 12
경로마다 마지막에 지나는 철사가 셋 중 딱 하나이므로, 이 마지막 덧셈이 틀 안의 모든 경로를 한 번씩만 모아 줍니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram6STEP 6
네 걸음의 순서를 빠짐없이 나열해 확인하기
네 걸음의 순서를 세어도 12가지입니다.
오, 오, 뒤, 아를 늘어놓는 순서 12가지
경로를 짧은 낱말처럼 적어 놓고 순서대로 늘어놓으면, 겹쳐 적은 것도 빠뜨린 것도 없다는 것이 한눈에 보입니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List정답
12 가지
6 + 3 + 3 = 12
답은 경로의 가짓수이므로 1보다 큰 자연수여야 하는데, 12는 알맞은 크기입니다. 정육면체 하나에서 마주 보는 꼭짓점까지 가는 최단 경로는 6가지인데, 상자를 두 개로 늘였으니 그보다는 늘되 터무니없이 커지지는 않아야 합니다. 12가 바로 그렇습니다. 또 서로 다른 네 걸음을 늘어놓는 방법이 24가지이니 답이 그보다 클 수는 없는데, 오른쪽으로 가는 두 걸음은 서로 바꾸어도 같은 경로이므로 그 가운데 정확히 절반이 겹칩니다. 24 ÷ 2 = 12입니다. 꼭짓점에 적은 수도 어긋나지 않습니다. 어떤 꼭짓점의 수도 그리로 들어오는 꼭짓점의 수보다 작지 않고, ㉠에서 멀어질수록 1, 2, 3, 6, 12로 차근차근 커집니다.
핵심 정리
숨은 철사를 다 그리고 출발점에 1을 쓴 다음, 꼭짓점마다 들어오는 수를 더해 나가세요. 입체 틀도 평면의 길 그림과 똑같이 세어집니다.
- 숨은 철사까지 그리고 꼭짓점 세기
- 최단 경로의 길이 알아내기
- 격자에서 쓰던 규칙 그대로 쓰기: 들어오는 길의 수를 더한다
- 꼭짓점마다 수를 채워 넣기
- ㉡에 적힌 수 읽기
- 네 걸음의 순서를 빠짐없이 나열해 확인하기
이어서 풀어볼까요