문제
리그와 토너먼트
7명이 토너먼트 방식으로 탁구를 합니다. 한 번에 두 명씩 경기하고 진 사람은 그대로 탈락합니다. 마지막에 한 사람이 남으면 우승자입니다. 경기가 모두 몇 번인지 구합니다.
사고력 · 초4-2 리그와 토너먼트
내 답
조심 모두가 서로 겨룬다고 세면 21번이 되지만 토너먼트는 지면 곧 끝이라 훨씬 적습니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 문제가 그림을 그려 구하라고 했으니 대진표를 직접 그려서 회마다 경기 수를 세어 봅니다. 그러면 믿을 만한 답 하나가 손에 잡힙니다. 그다음에는 관점을 바꾸어 경기 수 대신 탈락한 사람 수를 세어 봅니다. 그러면 대진표를 어떤 모양으로 그리든 같은 답이 나온다는 것이 보이고, 참가자가 몇 명이든 통하는 규칙까지 얻게 됩니다.
1STEP 1
대진표를 그리고 첫째 회 경기하기
첫째 회는 3경기이고 한 명은 부전승입니다.
7 = 2 + 2 + 2 + 1 → 3 번
짝을 지어 주는 일은 바둑돌 7개를 2개씩 묶는 것과 같습니다. 3묶음이 나오고 1개가 남습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram2STEP 2
남은 회 경기하기
남은 회는 2경기와 1경기입니다.
4 → 2 번 → 2 → 1 번 → 1
회가 넘어갈 때마다 사람 수가 반으로 줄어듭니다. 2로 계속 나누는 것과 같아서 4학년이면 바로 따라갈 수 있습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram3STEP 3
경기 수 더하기
더하면 6번입니다.
3 + 2 + 1 = 6
대진표만 그려 놓으면 회마다 경기를 적어 두었다가 더하는 일은 어렵지 않습니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List4STEP 4
다른 방법으로 확인하기: 탈락한 사람을 세기
한 경기에 한 명이 지므로 7 − 1 = 6으로도 같습니다.
7 - 1 = 6
경기 대신 진 사람을 세도 되는 까닭은 경기 하나에 진 사람이 정확히 하나씩 짝지어지기 때문입니다.
4.OA.C.5Change Focus Count The Complement탈락한 선수를 세면 경기 수를 세는 것이 되는데, 모든 경기가 정확히 한 명을 떨어뜨리기 때문이다.
왜?
한 경기가 패자 한 명을 낳고 패자 한 명은 한 경기에서 나오므로, 경기와 탈락자가 하나씩 대응된다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
우승자 한 명을 빼고 모두가 탈락하므로, 대진표를 그리지 않고도 패자의 수가 정해진다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
5STEP 5
리그와 견주어 두 방식이 얼마나 다른지 보기
리그라면 21번이라 차이가 큽니다.
7 × 6 ÷ 2 = 21
토너먼트는 사람을 덜어 내기만 하면 되지만, 리그는 가능한 짝을 하나도 빠짐없이 만들어야 합니다. 그러니 두 수가 그렇게 벌어집니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List정답
6 번
7 − 1 = 6
6번은 크기가 알맞습니다. 경기 한 번에 한 사람씩만 줄어드니 7명 중 우승자를 가리는 데 6번보다 적게 할 수는 없고, 리그로 했다면 21번이 필요하니 그보다는 훨씬 적습니다. 회마다 세어 더한 3 + 2 + 1 = 6과 탈락자를 센 7 - 1 = 6이 서로 같고, 답이 경기 횟수이니 자연수로 나온 것도 맞습니다.
핵심 정리
토너먼트에서는 경기 한 번마다 꼭 한 사람이 집으로 돌아가요. 그러니 경기를 세지 말고 집에 가는 사람을 세어 보세요!
- 대진표를 그리고 첫째 회 경기하기
- 남은 회 경기하기
- 경기 수 더하기
- 다른 방법으로 확인하기: 탈락한 사람을 세기
- 리그와 견주어 두 방식이 얼마나 다른지 보기
이어서 풀어볼까요