문제
수열의 합 구하기
4에서 시작해 3씩 더해 가며 수를 늘어놓습니다. 4, 7, 10, 13, 16 …으로 이어집니다. 이 줄은 100에서 끝납니다. 늘어놓은 수를 모두 더한 값을 구합니다.
사고력 · 초4-1 수열
내 답
조심 96 ÷ 3 = 32를 개수로 쓰기 쉽지만 첫 수까지 세어 33개입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 서른 개가 넘는 수를 하나씩 더하다 보면 실수하기 쉽습니다. 그래서 간격이 일정하다는 점을 이용합니다. 뒤의 계산이 모두 개수에 달려 있으니 먼저 수가 몇 개인지 조심스럽게 셉니다. 그다음 같은 규칙의 네 개짜리 짧은 목록에서 짝 짓기 방법을 시험해 봅니다. 거기서는 그냥 더해서 확인할 수 있으니까요. 그러고 나서 진짜 목록에 적용합니다. 수를 앞에서부터 한 줄, 뒤에서부터 한 줄 늘어놓으면 모든 짝의 합이 같아지는데, 이 규칙이 계산을 대신해 줍니다.
1STEP 1
늘어놓은 규칙 확인하기
이웃한 수의 차가 모두 3임을 확인합니다.
7-4 = 10-7 = 13-10 = 16-13 = 3
첫 간격 하나만 보지 않고 여러 간격을 확인해야 규칙이 정말 '3씩 더하기'인지 믿고 그 위에 계산을 쌓을 수 있습니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern2STEP 2
수가 몇 개인지 세기
96 ÷ 3에 1을 더해 수는 33개입니다.
100 - 4 = 96, 96 ÷ 3 = 32, 32 + 1 = 33
울타리 기둥을 떠올리면 됩니다. 사이가 32칸이면 기둥은 33개입니다. 1을 더하는 것을 잊지 않아야 개수가 딱 하나 모자라는 일을 막을 수 있습니다.
3.OA.A.3Make A Systematic List3STEP 3
짧은 목록에서 짝 짓기를 시험해 보기
짧은 줄로 짝 짓기를 먼저 시험합니다.
4 × 17 = 68, 68 ÷ 2 = 34
네 개짜리라면 보통 덧셈으로 몇 초 만에 확인할 수 있습니다. 그래서 같은 방법을 서른세 개짜리에 마음 놓고 쓸 수 있습니다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem4STEP 4
진짜 목록도 같은 방법으로 짝 짓기
양 끝끼리 짝지으면 합이 모두 104입니다.
4+100 = 7+97 = 10+94 = 104
한쪽이 얻은 3을 다른 쪽이 그대로 잃으니 짝의 합은 꿈쩍도 하지 않습니다. 일정한 간격으로 늘어선 수라면 언제나 이 짝 짓기가 통하는 까닭입니다.
3.OA.D.9Look For A Pattern목록을 양 끝에서 짝지으면 매번 같은 합이 나오는데, 한쪽 짝이 얻는 만큼 다른 쪽이 잃기 때문이다.
왜?
안쪽으로 옮기면 한쪽 짝이 간격만큼 올라가고 다른 쪽이 같은 간격만큼 내려가므로, 모든 짝이 하나의 고정된 합에 닿는다.
🧱양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
왜?
올라감과 내려감은 크기가 같아 정확히 서로를 지우며, 그래서 목록을 따라가도 짝의 합이 흔들리지 않는다.
🧱한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃는다한 덧수에서 다른 덧수로 얼마를 옮겨도 합은 꿈쩍하지 않으므로, 한 수를 편한 수로 만드는 것은 공짜다.
5STEP 5
곱한 다음 반으로 나누기
곱하고 반으로 나누면 104 × 33 ÷ 2 = 1716입니다.
104 × 33 = 3432, 3432 ÷ 2 = 1716
목록을 앞뒤로 한 번씩 두 줄 적는 것은 손해 보지 않는 거래입니다. 답이 두 배가 되는 대신 모든 짝이 똑같아지고, 마지막에 반으로 나누기 한 번이면 되돌릴 수 있으니까요.
4.NBT.B.5Look For A Pattern6STEP 6
한가운데 수로 검산하기
한가운데 수 52로 검산해도 1716입니다.
4 + 3 × 16 = 52, 52 × 33 = 1716
짝의 합 104의 절반이 바로 한가운데 수 52입니다. 두 방법은 같은 생각을 다른 쪽에서 본 것이고, 양쪽에서 같은 수가 나오면 계산 실수를 잡아낼 수 있습니다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern정답
1716
104 × 33 ÷ 2 = 1716
33개의 수가 4부터 100까지 걸쳐 있고 평균이 52쯤이므로 합은 33 × 50 = 1650 근처여야 하는데 1716은 바로 그 곁에 있습니다. 또 33 × 4 = 132보다는 크고 33 × 100 = 3300보다는 작아야 하는데 그것도 맞습니다. 단위가 붙지 않은 수의 합이고 자연수로 나와야 하는데 그 점도 어긋남이 없습니다.
핵심 정리
먼저 수가 몇 개인지 세고, 가장 작은 수와 가장 큰 수를 짝지어 보세요. 간격이 일정한 수들은 모든 짝의 합이 같아서, 곱셈 한 번과 반으로 나누기 한 번이면 끝납니다.
- 늘어놓은 규칙 확인하기
- 수가 몇 개인지 세기
- 짧은 목록에서 짝 짓기를 시험해 보기
- 진짜 목록도 같은 방법으로 짝 짓기
- 곱한 다음 반으로 나누기
- 한가운데 수로 검산하기