문제
모든 숫자의 합
0부터 99까지 수를 모두 적습니다. 거기에 쓰인 숫자를 하나도 빠뜨리지 않고 더합니다. 47은 4 + 7 = 11을 보탭니다. 모든 숫자를 더한 값을 구합니다.
사고력 · 초4-1 수와 숫자의 개수
내 답
조심 0부터 99까지 수를 더하는 문제로 읽기 쉽지만, 더하는 것은 자리마다 쓰인 숫자입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 100개의 수를 하나씩 더하면 시간도 오래 걸리고 중간에 틀리기도 쉽다. 그래서 계산을 확 줄여 주는 규칙을 찾는다. 먼저 모든 수를 두 자리로 고쳐 써서 100개의 생김새를 똑같이 맞춘다. 그다음 0부터 9까지라는 훨씬 짧은 목록에 같은 질문을 던져 짝 짓는 방법을 알아내고, 그 방법을 긴 목록에 그대로 옮긴다. 마지막으로 숫자 하나하나가 몇 번씩 쓰였는지를 세는 전혀 다른 방법으로 답을 한 번 더 확인한다.
1STEP 1
모든 수를 두 자리로 맞춰 쓰기
모든 수를 두 자리로 맞춰 00부터 99까지로 봅니다.
0 → 00, 7 → 07, 47 → 47
7을 07로 쓰는 것은 세로셈에서 자리를 맞출 때 이미 쓰던 방법이다. 앞의 0은 자리만 지킬 뿐 값이 없으니 합을 바꿀 수 없다.
4.NBT.A.2Organize Information In More Ways2STEP 2
0부터 9까지 짧은 목록으로 먼저 해 보기
0부터 9까지로 먼저 해 보면 합이 45입니다.
(0+9)+(1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5) = 5 × 9 = 45
10개짜리 목록은 손으로 직접 확인할 수 있을 만큼 짧다. 그래서 긴 목록에 쓰기 전에 짝 짓기가 정말 통하는지 눈으로 볼 수 있다.
3.OA.D.9Solve An Easier Related Problem3STEP 3
99까지 짝을 지어 보기
47과 52처럼 짝지으면 숫자 합이 늘 18입니다.
(4+7)+(5+2) = 11 + 7 = 18
47과 52처럼 짝이 되는 두 수는 숫자끼리 서로 빈자리를 채워 준다. 4와 5가 9, 7과 2가 9이니 어느 짝을 골라도 숫자의 합은 늘 18이다.
3.OA.D.9Look For A Pattern각 수를 99까지의 짝과 맞추면 모든 짝의 자릿수 합이 똑같이 18이 된다.
왜?
한 수가 올라가면 다른 수가 같은 만큼 내려가므로, 짝은 언제나 같은 합에 닿는다.
🧱양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
왜?
십의 자릿수끼리 9를 채우고 일의 자릿수끼리도 그러한데, 각 자리가 따로 세어지기 때문이다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
4STEP 4
짝이 몇 개인지 세기
수가 100개이므로 짝은 50개입니다.
100 ÷ 2 = 50
첫 짝과 마지막 짝을 짚어 두면 어디서 시작해 어디서 멈추는지가 분명해진다. 빠뜨리거나 두 번 세지 않는 안전한 방법이다.
4.OA.A.3Make A Systematic List5STEP 5
짝의 수와 한 짝의 값을 곱하기
곱하면 50 × 18 = 900입니다.
50 × 18 = 900
묶음의 크기가 모두 같아지면 여러 번의 덧셈이 곱셈 한 번으로 바뀐다. 곱셈이 하는 일이 바로 이것이다.
4.NBT.B.5Look For A Pattern6STEP 6
전혀 다른 방법으로 확인하기
자리별로 세어 20 × 45 = 900으로도 같습니다.
20 × 45 = 900
수 하나씩이 아니라 숫자 하나씩 세는 것은 같은 숫자 더미를 다르게 정리한 것뿐이다. 그러니 합이 같을 수밖에 없고, 같은 방법을 되풀이한 것이 아니라 진짜 검산이 된다.
4.NBT.B.5Organize Information In More Ways정답
900
50 × 18 = 900
수가 100개이고 두 수가 한 짝이 되어 18을 보태므로 수 하나가 보태는 값은 평균 9다. 100 × 9 = 900으로 답과 맞는다. 또 숫자의 합이 가장 큰 수는 99이고 그 값이 18이므로 전체 합은 0과 100 × 18 = 1800 사이에 있어야 하는데, 900은 그 안에 넉넉히 들어간다. 숫자의 값을 그냥 더한 값이라 단위는 붙지 않는다.
핵심 정리
첫 수와 끝 수, 둘째 수와 끝에서 둘째 수를 짝지어 보세요. 모든 짝의 합이 같아지면 어마어마한 덧셈이 작은 곱셈 하나로 줄어듭니다.
- 모든 수를 두 자리로 맞춰 쓰기
- 0부터 9까지 짧은 목록으로 먼저 해 보기
- 99까지 짝을 지어 보기
- 짝이 몇 개인지 세기
- 짝의 수와 한 짝의 값을 곱하기
- 전혀 다른 방법으로 확인하기