문제
악수하기
동아리 회원은 저마다 나머지 회원 모두와 악수합니다. 두 사람 사이의 악수는 한 번뿐입니다. 독서 동아리는 5명, 댄스 동아리는 6명입니다. 동아리마다 악수가 몇 번인지 구합니다.
사고력 · 초4-2 리그와 토너먼트
내 답
조심 한 사람이 4명과 하니 5 × 4라고 하기 쉽지만 한 악수를 두 번 세게 됩니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 이름을 그대로 따라가려면 머릿속이 금방 헝클어집니다. 그래서 사람을 둥글게 놓은 점 하나로, 악수를 두 점을 잇는 선분 하나로 바꿉니다. 그러면 물음이 '선분이 몇 개인가'로 바뀌어 눈으로 보고 셀 수 있습니다. 회원을 차례로 훑으면서 아직 적지 않은 악수만 세는 방식으로 목록을 만들면 5명인 경우가 빈틈없이 정리됩니다. 그 목록에서 곱한 뒤 2로 나누는 규칙이 드러나는데, 이 규칙이면 6명인 경우는 한 번에 풀리고 앞의 답을 다시 확인하는 데도 쓸 수 있습니다.
1STEP 1
사람은 점으로, 악수는 선분으로 바꾸기
사람은 점, 악수는 선분으로 바꿔 그립니다.
사람 5명 → 점 5개
악수는 꼭 두 사람을 잇고 선분은 꼭 두 점을 잇습니다. 그래서 그림은 필요한 정보를 하나도 잃지 않으면서 세기는 훨씬 쉬워집니다.
4.G.A.1Draw A Diagram2STEP 2
독서 동아리의 악수를 겹치지 않게 적어 보기
겹치지 않게 세면 4 + 3 + 2 + 1 = 10번입니다.
4 + 3 + 2 + 1 = 10
단계마다 새것만 세기 때문에 같은 악수가 두 번 적히지 않습니다. 4, 3, 2, 1로 줄어드는 모습이 두 번 세어진 것이 한 사람씩 걷혀 나가는 과정 그대로입니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List3STEP 3
곱한 뒤 2로 나누는 지름길 찾기
5 × 4를 반으로 나누어도 10번입니다.
5 × 4 = 20, 20 ÷ 2 = 10
악수 한 번에는 손이 둘 들어갑니다. 그러니 모두에게 몇 번 했느냐고 물으면 언제나 실제의 두 배가 나오고, 2로 나누는 것이 그것을 바로잡는 정직한 방법입니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern모두에게 몇 번 악수했는지 물으면 실제 악수 횟수의 정확히 두 배가 나오므로, 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
모든 악수에는 두 손이 만나므로, 각 악수는 그 안의 두 사람에게서 한 번씩 보고된다.
🧱두 번 세었으면 반으로모든 것을 양쪽 끝에서 한 번씩 세었다면 합계는 정확히 두 배이므로 반으로 나누면 바로잡힌다.
왜?
누구나 다른 누구와도 악수할 수 있고 제한이 없으므로, 보고된 총합은 한 개수에 다른 개수를 곱한 것이다.
🧱독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
4STEP 4
댄스 동아리도 같은 방법으로 세기
6명이면 6 × 5 ÷ 2 = 15번입니다.
6 × 5 ÷ 2 = 15 그리고 5+4+3+2+1 = 15
겹치는 데가 하나도 없는 두 세는 법이 똑같이 15에 닿는 것은, 같은 방법을 두 번 되풀이하는 것보다 훨씬 든든한 증거입니다.
3.OA.A.3Look For A Pattern5STEP 5
두 답을 서로 견주어 보기
한 사람이 늘면 악수가 5번 늘어 맞습니다.
10 + 5 = 15
두 답의 차가 5가 아니었다면 둘 중 하나는 틀린 것입니다. 그러니 이 견주기는 말만 바꾼 것이 아니라 진짜 검사입니다.
4.OA.C.5Look For A Pattern정답
10, 15 번
5 × 4 ÷ 2 = 10, 6 × 5 ÷ 2 = 15
답은 악수의 횟수이므로 자연수여야 하는데 실제로 그렇습니다. 또 누구나 적어도 한 번은 악수하니 사람 수보다는 커야 하고, 악수를 양쪽에서 다 세었을 때의 수인 5 × 4 = 20과 6 × 5 = 30보다는 훨씬 작아야 합니다. 10과 15는 그 수의 정확히 절반이니 마땅한 자리에 있습니다. 5명인 동아리는 그림으로도 확인됩니다. 점 5개를 서로 다 이으면 오각형에 오각별이 든 모양이 되는데, 변 5개에 대각선 5개를 더해 선분이 모두 10개입니다.
핵심 정리
악수는 두 사람에게서 한 번씩, 모두 두 번 세어집니다. 그러니 사람 수에 그보다 하나 작은 수를 곱한 다음 2로 나누세요.
- 사람은 점으로, 악수는 선분으로 바꾸기
- 독서 동아리의 악수를 겹치지 않게 적어 보기
- 곱한 뒤 2로 나누는 지름길 찾기
- 댄스 동아리도 같은 방법으로 세기
- 두 답을 서로 견주어 보기
이어서 풀어볼까요