문제
정다각형의 한 내각의 크기
정십이각형은 열두 변의 길이가 모두 같습니다. 열두 내각의 크기도 모두 같습니다. 그중 한 내각에 ㉠이라는 이름이 붙어 있습니다. ㉠의 크기를 구합니다.
사고력 · 초4-2 테셀레이션
내 답
조심 중심에서 나온 30도를 답으로 쓰고 싶지만 ㉠은 밑각 두 개를 붙인 각입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 변이 열두 개나 되는 도형은 한꺼번에 다루기에 너무 크지만 삼각형은 그렇지 않습니다. 그러니 그림에 선을 더 그어 봅니다. 정십이각형의 중심을 찍고 열두 꼭짓점에 모두 이어 주는 것입니다. 그러면 도형 전체가 똑같이 생긴 삼각형 12개로 나뉘고, 다각형의 한 내각은 그 삼각형들의 밑각 두 개가 붙어서 만들어진 것임이 보입니다. 중심에 모인 열두 각은 한 바퀴를 똑같이 나누어 가지므로 삼각형의 모양이 완전히 정해집니다. 어려운 다각형 문제가 쉬운 삼각형 문제로 바뀝니다.
1STEP 1
중심에서 모든 꼭짓점으로 선 긋기
중심에서 선을 그으면 똑같은 삼각형 12개가 됩니다.
똑같은 이등변삼각형 12 개
정다각형은 어느 꼭짓점에서 보아도 똑같이 생겼으니, 중심에서 잘라 낸 열두 조각도 서로 같을 수밖에 없습니다. 계산해 보지 않아도 눈으로 알 수 있는 사실입니다.
4.G.A.2Draw A Diagram2STEP 2
중심의 한 바퀴를 열두 삼각형이 똑같이 나누어 가지기
중심의 한 각은 360 ÷ 12 = 30도입니다.
360° ÷ 12 = 30°
한 바퀴를 열두 조각으로 똑같이 나누는 것은 사탕 360개를 열두 사람에게 똑같이 나누어 주는 나눗셈과 조금도 다르지 않습니다.
4.NBT.B.6Solve An Easier Related Problem중심의 한 바퀴를 열두 삼각형이 나누어 가지면 각 삼각형이 같은 중심각을 얻는다.
왜?
열두 개의 중심각은 중심 둘레의 한 바퀴를 빈틈도 겹침도 없이 채운다.
🧱한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
왜?
다각형이 정다각형이므로 열두 삼각형이 똑같고, 따라서 한 바퀴가 열두 개의 같은 몫으로 잘린다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
3STEP 3
삼각형 하나의 두 밑각 구하기
삼각형의 두 밑각은 각각 75도입니다.
(180° - 30°) ÷ 2 = 150° ÷ 2 = 75°
삼각형의 세 각의 합과, 길이가 같은 두 변이 마주 보는 두 각도 같다는 성질만 있으면 이등변삼각형은 각 하나만 알아도 끝까지 풀립니다.
8.G.A.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
밑각 두 개를 붙여 한 내각 되살리기
밑각 둘을 붙이면 ㉠은 150도입니다.
㉠ = 75° + 75° = 150°
꼭짓점을 지나는 선으로 둘로 갈린 각은 두 조각을 도로 더하면 됩니다. 각의 크기도 길이처럼 더해집니다.
4.MD.C.7Draw A Diagram5STEP 5
정다각형의 일반 규칙으로 확인하기
정다각형 규칙으로도 150도가 나옵니다.
180° × (12 - 2) ÷ 12 = 1800° ÷ 12 = 150°
이미 아는 도형인 정삼각형, 정사각형, 정육각형에 대입해 보는 것은 일반 규칙을 제대로 기억했는지 빠르게 확인하는 방법입니다.
8.G.A.5Look For A Pattern정답
150 도
180 × 10 ÷ 12 = 150
150도는 둔각이지만 평각 180도에는 한참 못 미치는데, 그림 속 모퉁이의 생김새가 정확히 그렇습니다. 정십이각형은 거의 원에 가까워서 꼭짓점마다 아주 조금씩만 꺾이기 때문입니다. 두 번째 확인입니다. 한 꼭짓점에서 내각과 바깥으로 도는 각을 더하면 평각이 되므로 도는 각은 180도 - 150도 = 30도이고, 둘레를 한 바퀴 걸으면 이런 꺾임이 열두 번이니 12 × 30도 = 360도, 곧 처음 방향으로 정확히 되돌아옵니다. 마땅히 그래야 합니다. 세 번째 확인입니다. 12 × 150도 = 1800도인데, 이것은 십이각형의 내각의 크기의 합 180도 × (12 - 2) = 1800도와 일치합니다.
핵심 정리
정다각형은 중심에서 조각으로 잘라 보세요. 한 바퀴 360도를 똑같이 나누어 주기만 하면 모퉁이의 크기가 전부 따라 나옵니다.
- 중심에서 모든 꼭짓점으로 선 긋기
- 중심의 한 바퀴를 열두 삼각형이 똑같이 나누어 가지기
- 삼각형 하나의 두 밑각 구하기
- 밑각 두 개를 붙여 한 내각 되살리기
- 정다각형의 일반 규칙으로 확인하기
이어서 풀어볼까요