문제
여러 가지 도형으로 테셀레이션 하기
보기에서는 정육각형 하나가 같은 정육각형 여섯 개에 빈틈없이 둘러싸여 있습니다. 이제 정사각형에 정다각형 네 개를 한 변씩 붙입니다. 붙이는 도형은 모두 같고 변의 길이도 정사각형과 같습니다. 어떤 정다각형을 붙여야 하는지 구합니다.
사고력 · 초4-2 테셀레이션
내 답
조심 네 도형이 다 모인다고 세기 쉽지만 한 꼭짓점에는 정사각형 하나와 둘만 모입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — |보기|는 장식이 아니라 그림으로 적어 놓은 규칙입니다. 그러니 벌집 모양에 왜 빈틈이 없는지를 그림이 아니라 수로 알아내는 것이 첫 걸음입니다. 가운데 정육각형의 한 꼭짓점을 골라 거기 모인 각을 더해 보면 됩니다. 그 셈이 곧 정사각형의 꼭짓점에서 붙이는 도형이 어떤 각을 내놓아야 하는지 알려 줍니다. 필요한 각을 알고 나면 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형처럼 정다각형의 한 각을 차례로 짧게 나열해 보고 그 값과 맞는 것을 골라내면 됩니다.
1STEP 1
|보기|에 왜 빈틈이 없는지 알아내기
보기에서 한 점에 모인 각이 360도라 빈틈이 없습니다.
120° + 120° + 120° = 360°
빈틈이 생기느냐 겹치느냐는 점 하나하나에서 판가름 납니다. 한 점에 모인 각의 합이 딱 한 바퀴 360°이면 도형이 완벽하게 맞물리고, 그렇지 않으면 흰 종이가 쐐기 모양으로 남거나 도형이 겹쳐 올라갑니다.
4.MD.C.7Look For A Pattern한 점에 모인 각들의 합이 한 바퀴가 될 때에만 도형들이 빈틈도 겹침도 없이 딱 맞물린다.
왜?
한 점 둘레를 다 도는 것은 360도이므로, 그보다 적으면 빈 종이가 남고 많으면 겹쳐 쌓인다.
🧱한 점 둘레의 각은 360도한 점 둘레를 빙 둘러 나란히 놓인 각들은 한 바퀴, 곧 360도를 정확히 채운다.
왜?
꼭짓점의 각들은 사이에 빈틈 없이 나란히 놓이므로, 그 크기는 이어 붙인 길이처럼 더해진다.
🧱각의 크기는 더해진다각 안에 그은 반직선은 각을 두 개로 나누고, 그 두 각의 크기를 더하면 원래 각이 된다 — 길이와 똑같다.
2STEP 2
정사각형의 꼭짓점에서 똑같이 세어 보기
정사각형 꼭짓점에는 90도와 두 각이 모입니다.
90° + (한 각) + (한 각) = 360°
가운데 도형 하나에 이웃 둘이 한 꼭짓점에서 만난다는 |보기|의 짜임새를 그대로 옮겨 오면, 새 문제가 수 하나만 바뀐 같은 문장이 됩니다.
4.MD.C.7Draw A Diagram3STEP 3
붙이는 정다각형에 필요한 한 각의 크기 구하기
그러니 붙이는 도형의 한 각은 135도여야 합니다.
(360° - 90°) ÷ 2 = 270° ÷ 2 = 135°
이미 쓰인 부분을 빼기 한 번으로 덜어 내고, 남은 몫을 똑같은 이웃 둘에게 나누기 한 번으로 갈라 주면 끝입니다. 어려운 식을 세울 필요가 없습니다.
4.MD.C.7Look For A Pattern4STEP 4
정다각형의 한 각을 차례로 나열해 135도 찾기
한 각이 135도인 정다각형은 정팔각형입니다.
180° × (8-2) ÷ 8 = 1080° ÷ 8 = 135°
변의 수 순서대로 나열하면 한 각의 크기도 커지는 순서로 줄을 섭니다. 그러니 135°를 지나치는 순간, 맞는 도형이 그것 하나뿐임을 알 수 있습니다.
8.G.A.5Make A Systematic List5STEP 5
실제로 빈틈 없이 닫히는지 확인하기
90 + 135 + 135 = 360도로 딱 닫힙니다.
90° + 135° + 135° = 360°
변의 길이가 같으니 변끼리 나란히 맞물리고, 꼭짓점에 모인 각의 합이 한 바퀴이니 모서리가 닫힙니다. 이 두 가지 확인이 곧 '빈틈이 없다'는 말의 뜻입니다.
4.G.A.2Draw A Diagram정답
정팔각형
90 + 135 + 135 = 360
답이 도형의 이름으로 나왔으니 문제가 물은 것과 맞습니다. 크기도 말이 됩니다. 붙이는 도형의 한 각은 정사각형의 90°보다는 커야 하고(90°에 그것을 두 번 더해 360°에 닿아야 하므로) 180°보다는 작아야 하는데(다각형의 한 각이 일직선일 수는 없으므로), 135°는 그 사이에 편안히 들어갑니다. 다른 정다각형은 모두 어긋납니다. 정육각형이면 90° + 120° + 120° = 330°라 30°만큼 빈틈이 남고, 정십각형이면 90° + 144° + 144° = 378°라 18°만큼 겹칩니다. 게다가 이 그림은 눈에 익은 무늬입니다. 정사각형 하나를 정팔각형 넷이 둘러싼 모양은 바닥 타일에서 흔히 볼 수 있습니다.
핵심 정리
빈틈이 없다는 말은 한 점에 모인 각의 합이 정확히 360°라는 뜻입니다. 정사각형이 쓴 90°를 빼고 남은 몫을 이웃 둘이 나눠 가지면 135°, 그 각을 가진 도형이 바로 정팔각형입니다.
- |보기|에 왜 빈틈이 없는지 알아내기
- 정사각형의 꼭짓점에서 똑같이 세어 보기
- 붙이는 정다각형에 필요한 한 각의 크기 구하기
- 정다각형의 한 각을 차례로 나열해 135도 찾기
- 실제로 빈틈 없이 닫히는지 확인하기
이어서 풀어볼까요