문제
기호가 나타내는 수
분모가 6인 두 대분수를 더하면 8과 2/6가 됩니다. 첫째는 자연수 부분이 ●이고 분수 부분이 3/6입니다. 둘째는 자연수 부분이 ▲이고 분수 부분이 ■/6이며 세 기호는 서로 다릅니다. ●▲■로 만든 세 자리 수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 구합니다.
사고력 · 초4-2 분수의 덧셈과 뺄셈
내 답
조심 자연수끼리 더해 8이라고 하기 쉽지만 분수 부분에서 1이 넘어와 합은 7입니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 대분수의 덧셈은 자연수 부분끼리, 분수 부분끼리 두 개의 작은 문제로 깔끔하게 갈라집니다. 게다가 답이 8 2/6이라고 이미 주어져 있으니, 분수 부분만 거꾸로 따져 보면 ■는 추측 없이 곧바로 정해지고 받아올림이 있었는지까지 알 수 있습니다. 받아올림이 정해지면 자연수 부분은 ●와 ▲의 합에 대한 아주 간단한 식 하나로 줄어들고, 그 합을 만드는 짝을 빠짐없이 나열하면 됩니다. 목록이 완전하다는 것이 보장되므로 가장 큰 수와 가장 작은 수는 목록에서 읽어 내기만 하면 됩니다.
1STEP 1
자연수 부분과 분수 부분으로 나누어 보기
합을 자연수 부분과 분수 부분으로 나눕니다.
●3/6 + ▲■/6 = (● + ▲) + (3 + ■)/6
사과 3개와 사과 5개를 더하면 사과 8개이듯, 육분수와 육분수를 더하면 그대로 육분수입니다. 그래서 자연수 부분은 잠시 건드리지 않고 분수 부분만 따로 다룰 수 있습니다.
4.NF.B.3Identify Subproblems합을 자연수 부분과 6분의 몇 부분으로 가르면 식 하나가 더 작은 식 둘이 된다.
왜?
대분수는 자연수와 분수를 함께 놓은 것이므로, 두 부분을 따로 좇을 수 있다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
왜?
6분의 몇은 다른 6분의 몇하고만 합쳐지는데, 조각은 크기가 같을 때에만 세어서 더해지기 때문이다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
2STEP 2
2/6에서 거꾸로 따져 ■ 구하기
3/6에 더해 2/6가 되려면 ■는 5입니다.
3/6 + 5/6 = 8/6 = 1 2/6
6/6이 딱 1이라는 것만 알면 8/6을 1과 2/6으로 갈라 볼 수 있고, 받아올림이 몇인지도 바로 읽힙니다.
4.NF.B.3Work Backwards3STEP 3
받아올림을 이용해 자연수 부분의 합 정하기
1이 받아올림되므로 ● + ▲ = 7입니다.
● + ▲ + 1 = 8 → ● + ▲ = 7
받아올림만 찾아내면 '어떤 수에 1을 더해 8'이라는 식이 남는데, 이런 빈칸 채우기는 1학년도 할 수 있는 계산입니다.
1.OA.D.8Identify Subproblems4STEP 4
합이 7이 되는 두 수를 빠짐없이 나열하기
5를 뺀 짝은 1과 6, 3과 4, 4와 3, 6과 1입니다.
7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1
7처럼 작은 수를 두 몫으로 가르는 연습은 아주 어릴 때부터 해 온 일입니다. 작은 수부터 차례대로 적어 두면 빠뜨리는 경우가 생기지 않습니다.
K.OA.A.3Make A Systematic List5STEP 5
세 자리 수로 읽고 크기 비교하기
세 자리 수로 읽으면 615가 가장 크고 165가 가장 작습니다.
165 ＜ 345 ＜ 435 ＜ 615
세 자리 수는 백의 자리부터 비교한다는 자릿값 감각은 4학년이 매일 쓰는 방법입니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List정답
615, 165
● + ▲ = 7, ■ = 5
두 답을 식에 다시 넣어 보면 확인이 끝납니다. 615일 때는 6 3/6 + 1 5/6이 되어 자연수 7에 8/6이 붙고, 8/6은 1과 2/6이므로 합은 8 2/6입니다. 165일 때는 1 3/6 + 6 5/6으로 역시 7과 8/6, 곧 8 2/6입니다. 크기도 그럴듯합니다. 답은 모두 5로 끝나므로 가장 큰 수를 만들려면 백의 자리를 최대한 크게 해야 하는데, ●가 7 이상이면 ▲가 0이나 음수가 되어 버립니다. 그러니 ●의 최댓값은 6이고 615가 맞습니다. 같은 이유로 백의 자리로 쓸 수 있는 가장 작은 수는 1이므로 165가 가장 작습니다.
핵심 정리
분수 부분부터 먼저 더해 보세요. 숨은 분자가 무엇인지, 자연수 쪽으로 받아올림이 있는지가 거기서 다 나오고, 나머지는 저절로 따라옵니다.
- 자연수 부분과 분수 부분으로 나누어 보기
- 2/6에서 거꾸로 따져 ■ 구하기
- 받아올림을 이용해 자연수 부분의 합 정하기
- 합이 7이 되는 두 수를 빠짐없이 나열하기
- 세 자리 수로 읽고 크기 비교하기