문제
복면산
네 자리 수 45AB에 6을 곱하면 다섯 자리 수 27BBB가 됩니다. B는 어디에 있든 같은 숫자입니다. A와 B는 서로 다른 숫자입니다. A와 B가 각각 어떤 숫자인지 구합니다.
사고력 · 초4-1 연산 퍼즐
내 답
조심 셈이 맞아떨어져도 A와 B가 같아지면 답이 될 수 없습니다.
풀이 과정
전략 가능성 지우기 — B가 될 수 있는 숫자는 열 개뿐이니 후보가 손에 꼽을 만큼 적다. 여기에 서로 다른 두 실마리를 대면 후보가 빠르게 줄어든다. 하나는 곱의 일의 자리가 다시 B로 돌아와야 한다는 것이고, 다른 하나는 곱이 2와 7로 시작해야 해서 크기가 묶인다는 것이다. 이 두 번의 걸러 내기를 거치면 B의 후보는 셋만 남고, 각각은 짧은 곱셈 한 번으로 확인할 수 있다.
1STEP 1
일의 자리로 B의 후보 줄이기
일의 자리를 보면 B는 짝수여야 합니다.
6 × 0 = 0, 6 × 2 = 12, 6 × 4 = 24, 6 × 6 = 36, 6 × 8 = 48
곱의 일의 자리는 곱하는 두 수의 일의 자리에만 달려 있다. 그래서 6단 구구 열 개만 훑으면 후보 열 개를 한꺼번에 검사할 수 있다.
4.NBT.B.5Make A Systematic List곱의 일의 자릿수는 곱해지는 일의 자릿수에만 달려 있으므로, 6단 한 줄이면 열 개의 후보를 모두 확인할 수 있다.
왜?
일의 자리 위쪽은 곱에 온전한 십만 보태므로, 일의 자리에 놓이는 것을 결코 바꿀 수 없다.
🧱자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
왜?
곱의 끝자리가 맞지 않는 숫자는 곧바로 지워지므로, 본격적인 계산 전에 목록이 줄어든다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
2STEP 2
수의 크기로 B를 더 줄이기
곱한 값이 27594를 넘지 못해 B는 5 이하입니다.
6 × 4500 = 27000, 6 × 4599 = 27594
모르는 수를 계산하기 쉬운 두 수 사이에 끼워 넣으면, 숨은 숫자를 하나도 모르는 채로도 답의 크기를 미리 가늠할 수 있다.
4.NBT.B.5Eliminate Possibilities3STEP 3
후보를 셋으로 좁히기
남는 후보는 0, 2, 4 셋뿐입니다.
27BBB ≤ 27594 → B ≤ 5
다섯 자리 수 둘을 왼쪽 자리부터 차례로 견주는 것만으로 숨은 숫자의 한계가 정해진다. 서로 다른 실마리 둘을 겹치면 후보 열 개가 셋으로 줄어든다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities4STEP 4
남은 셋을 확인하기
하나씩 넣어 보면 B = 4만 맞습니다.
27444 - 27024 = 420, 420 ÷ 60 = 7
A가 한 칸 오를 때마다 곱이 꼬박꼬박 60씩 는다는 것을 알면, 경우마다 열 번 찍어 볼 일이 뺄셈 한 번으로 끝난다. 게다가 차이가 60의 배수가 아니면 그 경우는 그 자리에서 지워진다.
4.NBT.B.5Guess And Check5STEP 5
두 문자가 겹치는 경우 버리기
그러면 A = 7이고 두 숫자가 다릅니다.
문자 퍼즐에서 문자 규칙은 장식이 아니라 진짜 조건이다. 여기서도 계산상으로는 맞는 또 하나의 답을 지워 주는 것이 바로 이 규칙이다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities6STEP 6
완성된 곱셈 검산하기
검산하면 4574 × 6 = 27444입니다.
4574 × 6 = 27444
곱셈을 자리별로 다시 해 보면, 답을 찾을 때 쓴 자리뿐 아니라 퍼즐의 모든 자리가 맞아떨어지는지까지 확인된다.
4.NBT.B.5Guess And Check정답
A = 7, B = 4
4574 × 6 = 27444
4574 × 6 = 27444는 자리마다 검산해도 어긋나지 않고 크기도 그럴듯하다. 4574는 4500보다 조금 큰 수이고 4500 × 6 = 27000이니, 곱이 27000을 조금 넘는 것은 예상 그대로다. 문자 규칙도 지켜진다. A는 7, B는 4로 서로 다른 숫자이기 때문이다.
핵심 정리
일의 자리에 무엇이 와야 하는지, 답이 얼마나 커질 수 있는지. 이 쉬운 실마리 두 개면 열 번 찍어 볼 일이 한 번으로 줄어듭니다.
- 일의 자리로 B의 후보 줄이기
- 수의 크기로 B를 더 줄이기
- 후보를 셋으로 좁히기
- 남은 셋을 확인하기
- 두 문자가 겹치는 경우 버리기
- 완성된 곱셈 검산하기
이어서 풀어볼까요