문제
규칙과 분수
㉠과 ㉡ 두 줄에 분수가 늘어서 있습니다. 두 줄은 저마다 다른 규칙을 따릅니다. 분모를 6으로 맞추면 규칙이 잘 보입니다. 두 줄의 10번째 분수의 차를 구합니다.
사고력 · 초4-2 분수의 덧셈과 뺄셈
내 답
조심 ㉠의 규칙을 ㉡에도 쓰고 싶지만 ㉡은 앞의 두 항을 더하는 전혀 다른 줄입니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 두 줄 모두 자연수와 진분수, 대분수가 뒤섞여 있어서 규칙이 눈에 들어오지 않는다. 그래서 첫 번째로 할 일은 모든 항을 6분의 몇으로 똑같이 고쳐 쓰고 분자만 나란히 놓아 보는 것이다. 그러면 두 줄의 규칙이 각각 드러난다. 규칙만 잡히면 그다음은 분자를 10번째까지 차례로 적어 내려간 뒤 빼기만 하면 된다.
1STEP 1
㉠을 모두 6분의 몇으로 고쳐 쓰기
㉠을 6분의 몇으로 고쳐 씁니다.
2/6, 7/6, 12/6, 17/6, 22/6, 27/6
대분수는 자연수에 분수를 더한 것일 뿐이고 1은 6/6이다. 그러니 모든 수를 6분의 몇으로 세는 것은 '몇 m 몇 cm'를 cm 하나로만 세는 것과 똑같은 일이다.
4.NF.B.3Organize Information In More Ways모든 항을 6분의 몇으로 고쳐 쓰면 대분수 목록이 평범한 자연수 목록으로 바뀐다.
왜?
1은 6분의 6이므로, 대분수를 모두 같은 크기 조각의 개수로 셀 수 있다.
🧱분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
왜?
수를 더 작은 같은 조각으로 바꾸어 불러도 크기는 달라지지 않으므로, 고쳐 쓴 목록은 같은 목록이다.
🧱분자와 분모를 함께 배로 하면 크기가 그대로분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱하거나 나누면 이름만 바뀔 뿐이다 — 조각의 크기는 달라져도 가진 양은 그대로다.
2STEP 2
㉠의 규칙을 찾아 10번째 항까지 가기
㉠은 5/6씩 커져 10번째가 47/6입니다.
(2 + 5 × 9)/6 = 47/6 = 7 5/6
5씩 뛰어 세기는 4학년이 다루는 규칙 그대로다. 새로 조심할 것은 첫째 항에서 열째 항까지 뛰는 횟수가 10번이 아니라 9번이라는 점 하나뿐이다.
4.OA.C.5Look For A Pattern3STEP 3
㉡도 6분의 몇으로 고쳐 쓰기
㉡도 같은 방법으로 고쳐 씁니다.
2/6, 3/6, 5/6, 8/6, 13/6, 21/6, 34/6
두 줄의 모든 항을 같은 분모로 맞춰 두면 이야기는 분자만으로 다 할 수 있다.
4.NF.B.3Organize Information In More Ways4STEP 4
㉡의 규칙을 찾아 10번째까지 늘어놓기
㉡은 앞의 두 항을 더해 10번째가 144/6입니다.
55/6 + 89/6 = 144/6 = 24
'앞의 두 수를 더한다'는 규칙만 잡히면, 분자를 한 줄로 적어 놓고 이웃끼리 차례로 더해 내려가는 일만 남는다. 새로운 아이디어는 하나도 필요 없다.
4.OA.C.5Make A Systematic List5STEP 5
두 10번째 분수의 차 구하기
차는 97/6 = 16 1/6입니다.
144/6 - 47/6 = 97/6 = 16 1/6
두 줄을 처음부터 6분의 몇으로 만들어 두었으니 통분할 일이 아예 없다. 분자끼리 빼면 그만이다.
4.NF.B.3Organize Information In More Ways정답
16 1/6
144/6 − 47/6 = 97/6
㉠은 한 항마다 5/6씩만 늘어나므로 10번째 항은 8 언저리여야 하는데, 7 5/6이 딱 그 정도다. 반대로 ㉡은 갈수록 빠르게 불어나니 10번째 항은 훨씬 커야 하고, 실제로 24가 나왔다. 그러면 차도 24-8=16쯤 되어야 하는데 나온 값이 바로 그 크기다. 남는 1/6도 옳다. 24에는 6분의 몇이 하나도 없고 7 5/6에는 5/6이 들어 있기 때문이다.
핵심 정리
분수를 먼저 모두 같은 분모로 고쳐 써 보세요. 숨어 있던 규칙이 분자에서 툭 튀어나온답니다!
- ㉠을 모두 6분의 몇으로 고쳐 쓰기
- ㉠의 규칙을 찾아 10번째 항까지 가기
- ㉡도 6분의 몇으로 고쳐 쓰기
- ㉡의 규칙을 찾아 10번째까지 늘어놓기
- 두 10번째 분수의 차 구하기
이어서 풀어볼까요