문제
접기와 각도
가로로 긴 직사각형 종이를 위쪽 변에서 오른쪽 아래로 비스듬히 내려가는 접는 선을 따라 한 번 접었습니다. 접는 선이 위쪽 변과 만나는 곳에서 오른쪽으로 뻗은 위쪽 변과 접는 선이 이루는 각은 70°입니다. 오른쪽 부분 전체가 왼쪽 아래로 넘어가 아래쪽 변 밖으로 삐져나옵니다. 넘어간 조각의 변이 아래쪽 변과 만나는 곳의 각 ①의 크기를 구합니다.
사고력 · 초4-1 다각형과 각도
내 답
조심 접힌 각이 달라 보이지만 접는 선이 거울이라 양쪽 각은 정확히 같습니다.
풀이 과정
전략 직접 만져보기 — 접기가 각을 어떻게 바꾸는지는 종이띠를 실제로 접어 보면 곧바로 보인다. 접힌 부분은 거울에 비친 모습이라서 접는 선은 원래 변과 접힌 변 사이의 한가운데에 놓인다. 그러면 하나뿐인 70°가 똑같은 70° 두 개로 늘어난다. 여기까지 오면 P, R, Q 세 점을 찍어 보통의 삼각형 하나를 찾아내고, 삼각형의 세 각의 합과 맞꼭지각 한 번으로 마무리할 수 있다.
1STEP 1
종이띠를 직접 접어 접는 선이 거울임을 보기
접는 선이 거울이라 양쪽 각이 같습니다.
∠(crease, flap edge) = ∠(crease, top edge) = 70°
접기는 곧 뒤집기이고, 뒤집어도 각의 크기는 달라지지 않는다. 그래서 접는 선은 늘 원래 변과 접힌 변이 이루는 각을 똑같이 둘로 나눈다.
8.G.A.1Create A Physical Representation2STEP 2
접기가 만들어 낸 삼각형에 이름 붙이기
접기가 만든 삼각형의 한 각은 70도입니다.
∠ QPR = 70°
구하려는 각이 Q에 있으니, Q를 꼭짓점으로 가지면서 크기를 아는 유일한 각까지 이어지는 삼각형을 찾는 것이 가장 쓸모 있는 한 수이다.
4.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
70°를 접는 선을 따라 R까지 옮기기
거울 덕분에 맞은편 각도 70도입니다.
∠ PRQ = 70°
한 직선이 평행한 두 직선을 가로지르면 그 직선이 만드는 각들이 그대로 되풀이된다. 그래서 위쪽 변에서 알아낸 크기가 아래쪽 변에서도 저절로 알려진다. 다시 잴 필요가 없다.
8.G.A.5Identify Subproblems위쪽 변에서 알아낸 70도는 아래쪽 변에서도 저절로 알려지는데, 접힌 선이 두 평행선을 가로지르기 때문이다.
왜?
한 직선이 두 평행선을 가로지르면 두 교차점에서 같은 각이 되풀이된다.
🧱평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.
왜?
접힌 선은 거울선이므로, 변과 접힌 선이 이루는 각이 그 너머에 정확히 복사된다.
🧱접은 선은 거울선이다접기는 한 점을 내려앉는 자리에 포개므로, 접힌 선은 두 점에서 같은 거리에 있고 둘을 이은 선분과 직각으로 만난다.
4STEP 4
삼각형 PQR의 남은 한 각 채우기
남은 한 각은 180 − 140 = 40도입니다.
∠ PQR = 180° - 70° - 70° = 40°
밑변 쪽 두 각이 70°씩 차지하고 나면 나머지 한 꼭짓점 몫은 40°뿐이다. 어느 삼각형이나 나누어 쓸 수 있는 180°는 정해져 있다.
8.G.A.5Identify Subproblems5STEP 5
Q에서 표시된 각으로 넘어가기
①은 그 각과 같아 40도입니다.
㉠ = ∠ PQR = 40°
두 직선이 엇갈리면 X 모양이 생기고, X를 사이에 두고 마주 보는 두 각은 언제나 크기가 같다.
7.G.B.5Identify Subproblems정답
40 도
180 − 70 − 70 = 40
40°는 예각이고 접는 선 위쪽의 70°보다 확실히 작다. 그림에서도 ㉠에 그려진 호가 위쪽 호보다 눈에 띄게 좁으니 잘 맞는다. 단위로도 어긋남이 없다. 사슬 전체가 각의 크기를 다루고, 70 + 70 = 140이라 나머지 한 각으로 40이 양수로 남으므로 180°를 넘는 일이 없다. 움직여 보는 검산도 해 볼 만하다. 접는 선을 더 가파르게 해서 70° 대신 80°로 하면 같은 사슬이 180° - 80° - 80° = 20°를 내놓는다. 즉 접는 선이 가파를수록 ㉠은 작아진다. 90°가 되면 접힌 부분이 자기 자신 위로 곧장 포개져 ㉠은 0°로 사라지는데, 실제 종이띠로 해 보아도 꼭 그렇게 된다.
핵심 정리
접기는 거울입니다. 그래서 접는 선은 원래 변과 그 변이 옮겨 간 자리 사이의 각을 언제나 똑같이 반으로 나눠 줍니다.
- 종이띠를 직접 접어 접는 선이 거울임을 보기
- 접기가 만들어 낸 삼각형에 이름 붙이기
- 70°를 접는 선을 따라 R까지 옮기기
- 삼각형 PQR의 남은 한 각 채우기
- Q에서 표시된 각으로 넘어가기
이어서 풀어볼까요