문제
원의 지름과 반지름
네 원의 중심이 한 직선 위에 있고 점 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ이 위에서 아래로 놓여 있습니다. 가장 큰 원은 중심이 ㄴ, 반지름이 8 cm이고 ㄱ과 ㅁ을 지납니다. 중심이 ㄷ인 원은 ㄴ과 ㅁ을, 중심이 ㄹ인 원은 ㄷ과 ㅁ을 지납니다. 선분 ㄱㄹ의 길이를 구합니다.
사고력 · 초3-2 원과 길이
내 답
조심 8 cm를 지름으로 읽기 쉽지만 반지름이라, ㄱ에서 ㅁ까지는 16 cm입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 아래쪽 점 ㅁ을 0으로 두고 점들을 수직선 위에 놓아 그림에서 높이를 읽습니다(그림 그리기). 각 원의 지름이 바로 위 원의 절반이 되어 중심 ㄴ, ㄷ, ㄹ이 반씩 줄어드는 규칙을 이룹니다(패턴 찾기). 점의 위치를 하나씩 구한 뒤 빼서 ㄱㄹ을 구합니다(작은 문제로 쪼개기).
1STEP 1
아래쪽 점 ㅁ을 0으로 두고 ㄱ과 ㄴ 놓기
ㅁ을 0으로 두면 ㄴ은 8, ㄱ은 16입니다.
ㅁ=0, ㄴ=8, ㄱ=8+8=16
지름은 반지름 두 개가 쌓인 것이므로 맨 위 점 ㄱ은 아래에서 8 + 8 = 16 cm 위입니다.
3.OA.A.1Draw A Diagram2STEP 2
ㄷ 구하기: ㄴ과 ㅁ을 지나는 원
ㄷ은 ㄴㅁ의 중점이라 4입니다.
ㄷ=(ㄴ+ㅁ)/2=(8+0)/2=4
원의 중심은 마주 보는 두 점의 정확히 가운데이므로 ㄷ은 ㄴ과 ㅁ의 중점입니다.
3.NF.A.1Identify Subproblems원의 중심은 원 위의 마주 보는 두 점의 정확히 한가운데에 있으므로, C는 B와 E의 중점이다.
왜?
그 두 점은 모두 중심에서 반지름만큼 떨어져 있고, 그 두 반지름은 길이가 같다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
두 반지름은 빈틈도 겹침도 없이 이어져 있으므로, 전체 거리는 반지름의 두 배이고 그 절반이 중심이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
ㄹ 구하기: ㄷ과 ㅁ을 지나는 원
ㄹ은 ㄷㅁ의 중점이라 2입니다.
ㄹ=(ㄷ+ㅁ)/2=(4+0)/2=2
새 원은 위 원의 절반 높이이므로 중심이 8, 4, 2로 계속 반씩 줄어드는 따라가기 쉬운 규칙입니다.
3.NF.A.1Look For A Pattern4STEP 4
빼서 ㄱㄹ 구하기
빼면 ㄱㄹ은 16 − 2 = 14 cm입니다.
ㄱㄹ=ㄱ-ㄹ=16-2=14 cm
직선 위 두 점 사이 거리는 큰 높이에서 작은 높이를 뺀 것입니다.
3.NBT.A.2Identify Subproblems정답
14 cm
16 − 2 = 14
ㅁ을 기준으로 한 높이: ㄱ = 16, ㄴ = 8, ㄷ = 4, ㄹ = 2, ㅁ = 0으로 그림처럼 위에서 아래로 차례입니다. ㄱㄹ = 14 cm는 전체 ㄱㅁ = 16 cm보다 작고(ㄹ이 ㅁ 바로 위), ㄱㄴ = 8 cm보다 큽니다. 중심 8, 4, 2가 단계마다 반씩 줄어 '각 원이 위 원의 중심을 지난다'와 일치합니다.
핵심 정리
원마다 위 원의 절반 높이라서 중심이 8, 4, 2로 줄어듭니다. 16에서 2만 빼면 14 cm!
- 아래쪽 점 ㅁ을 0으로 두고 ㄱ과 ㄴ 놓기
- ㄷ 구하기: ㄴ과 ㅁ을 지나는 원
- ㄹ 구하기: ㄷ과 ㅁ을 지나는 원
- 빼서 ㄱㄹ 구하기