문제
원과 다각형
삼각형의 세 꼭짓점을 중심으로 서로 바깥에서 맞닿는 원 세 개를 그렸습니다. 두 꼭짓점의 원은 크기가 같은 큰 원이고 나머지는 작은 원이며, 큰 지름은 작은 지름의 2배입니다. 각 변의 길이는 양 끝 두 원의 반지름의 합입니다. 둘레가 30 cm일 때 작은 원의 지름을 구합니다.
사고력 · 초3-2 원과 길이
내 답
조심 변을 지름의 합으로 두기 쉽지만, 두 원이 맞닿은 곳까지의 거리는 반지름의 합입니다.
풀이 과정
전략 그림 그리기 — 그림에 각 반지름을 표시하면 삼각형의 변마다 두 반지름의 합으로 길이를 읽을 수 있습니다(그림 그리기). 둘레는 세 변으로 이루어지므로 각 변을 작은 원 반지름으로 나타내는 작은 문제로 나눈 뒤(작은 문제로 쪼개기) 모두 더해 둘레식을 만들고, 그 합이 30 cm가 되는 크기를 찾습니다(추측하고 확인하기로 하나의 값을 확인).
1STEP 1
작은 지름을 정하고 네 반지름 구하기
작은 지름을 d로 두면 반지름은 d/2, 큰 반지름은 d입니다.
r_작은=d/2, r_큰=2d/2=d
지름을 반으로 나누어 반지름을 구하는 것은 전체를 똑같이 둘로 나누는 분수 개념과 같습니다.
3.NF.A.1Draw A Diagram2STEP 2
각 변을 두 반지름의 합으로 나타내기
두 큰 원을 잇는 변은 2d입니다.
ㄱㄷ=d+d=2d, ㄱㄴ=ㄴㄷ=d+d/2
맞닿은 변은 두 반지름이 끝과 끝으로 이어진 것이므로 두 반지름을 더하면 변의 길이가 됩니다.
3.OA.A.1Identify Subproblems삼각형의 각 변은 맞닿은 두 반지름을 이어 붙인 것이므로, 그 길이는 두 반지름을 더한 것이다.
왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 같은 거리에 있으므로, 중심에서 맞닿은 점까지의 조각은 어디를 보아도 그 원의 반지름이다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
두 반지름은 맞닿은 점에서 빈틈도 겹침도 없이 만나므로, 둘을 합치면 정확히 변 전체가 된다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
세 변을 더해 둘레 구하기
나머지 두 변은 각각 d + d/2라 둘레가 5d입니다.
P=2d+(d+d/2)+(d+d/2)=4d+d=5d
둘레는 도형을 한 바퀴 도는 것이므로 모든 변을 더합니다. 두 절반 반지름이 합쳐져 온전한 d 하나가 됩니다.
3.MD.D.8Identify Subproblems4STEP 4
둘레를 30과 같게 두고 풀기
5d = 30이므로 작은 지름은 6 cm입니다.
5d=30 cm → d=30/5=6 cm
똑같은 묶음 5개가 30이 되니 한 묶음은 6입니다. 3학년이 할 수 있는 나눗셈입니다.
3.OA.A.3Guess And Check정답
6 cm
5d = 30
d = 6 cm일 때: 작은 반지름 3 cm, 큰 반지름 6 cm입니다. 변은 ㄱㄷ = 12 cm, ㄱㄴ = ㄴㄷ = 9 cm이고 합은 12 + 9 + 9 = 30 cm로 주어진 둘레와 정확히 같습니다. 작은 지름(6 cm)이 큰 지름(12 cm)보다 작아 타당합니다.
핵심 정리
변마다 맞닿은 두 반지름을 더한 것이라, 삼각형을 한 바퀴 돌면 작은 지름 5개가 됩니다. 30을 똑같이 5로 나누면 6 cm!
- 작은 지름을 정하고 네 반지름 구하기
- 각 변을 두 반지름의 합으로 나타내기
- 세 변을 더해 둘레 구하기
- 둘레를 30과 같게 두고 풀기
이어서 풀어볼까요