문제
조건에 맞게 원 나누기
원 안에 선분 3개를 그으면 가장 적게 4부분, 가장 많게 7부분으로 나뉩니다. 모든 선은 원 안에 그은 곧은 선분입니다. 이제 각 원에 선분을 정확히 4개 긋습니다. 부분 수가 정해지는 규칙을 찾아 목표대로 나눕니다.
사고력 · 초3-2 원과 도형의 수
내 답
조심 선분을 4개 그으면 부분 수가 정해질 것 같지만, 교차점을 몇 개 만드느냐에 따라 5부터 11까지 달라집니다.
풀이 과정
전략 패턴 찾기 — 선분을 1개, 2개, 3개씩 그어 보며 새 선분이 부분을 얼마나 늘리는지 살피면 간단한 규칙(새 선분은 부분을 1개 늘리고, 기존 선분과 만날 때마다 1개씩 더 늘림)을 찾을 수 있다. 이 규칙으로 선분 4개의 최소.최대 부분 수와 각 목표에 필요한 교차점 수를 알아내어 직접 그린다.
1STEP 1
선분 하나가 부분을 얼마나 늘리는지 보기 (더 쉬운 경우부터)
새 선분은 1부분을 늘리고 만나는 선분마다 1부분씩 더 늘립니다.
1 → 2 → 3(안 만남) 또는 4(한 번 만남)
교차점 하나하나가 부분이 새로 갈라지는 자리이므로, 교차가 바로 추가 부분을 만든다.
2.OA.B.2Solve An Easier Related Problem새로운 교차점 하나가 한 영역을 둘로 가르므로, 조각을 더 만들어 내는 것은 바로 교차점이다.
왜?
선분이 한 영역에 들어갔다 나오면 그 영역이 둘로 잘리므로, 교차 하나가 조각을 정확히 하나 늘린다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
왜?
조각들은 빈틈도 겹침도 없이 원을 채우므로, 전체 개수는 처음 한 조각에 자른 횟수만큼 더한 것이다.
🧱전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
주어진 선분 3개의 사실로 규칙 확인하기
선분 3개의 4부분과 7부분이 이 규칙과 맞습니다.
1+1+1+1 = 4, 1+1+2+3 = 7
문제가 이미 준 두 수를 규칙이 그대로 만들어 내므로, 선분 4개에도 이 규칙을 믿고 쓸 수 있다.
3.OA.D.9Look For A Pattern3STEP 3
선분 4개의 최소.최대 부분 수 구하기
겹치지 않게 그으면 가장 적은 5조각, 여섯 번 다 만나면 가장 많은 11조각입니다.
가장 적게=5, 가장 많게=1+1+2+3+4=11
선분이 3개에서 4개로 늘면 가장 많은 부분 수가 7에서 11로 정확히 4 늘어나는데, 새 4번째 선분이 앞의 3개를 모두 만나고 자기 몫 1을 더하기 때문이다.
3.NBT.A.2Look For A Pattern4STEP 4
각 목표에 필요한 교차점 수 읽어 내기
그래서 목표 조각 수마다 필요한 만남은 목표 빼기 5번입니다.
부분 수 = 5 + (교차점 수), 교차점 = 0,1,2,3,4,5,6
교차 한 번이 부분 하나이므로, 목표를 정하는 것은 선분 4개 중 몇 개를 만나게 할지 정하는 일과 같다.
3.OA.A.3Draw A Diagram5STEP 5
각 목표를 직접 그리기
그리면 5부터 11까지 모든 조각 수가 나옵니다.
5,6,7,8,9,10,11
교차점을 하나씩 더해 가며 그리면 부분 수가 1씩 올라가므로, 5부터 11까지 모든 부분 수를 만들 수 있다.
2.G.A.1Draw A Diagram정답
부분 수 = 5 + 교차점 수 (5부터 11까지)
가장 적은 부분(5)은 선분 3개의 가장 적은 부분(4)보다 1 많고, 가장 많은 부분(11)은 선분 3개의 가장 많은 부분(7)보다 4 많다. 둘 다 앞의 선분을 모두 만날 수 있는 4번째 선분을 더한 것과 일치한다. 5부터 11까지 모든 목표가 교차점을 하나씩 더해 닿을 수 있는 자연수이므로 중간이 빠지지 않는다.
핵심 정리
두 선이 만날 때마다 부분이 하나씩 더 생긴다. 그러니 목표에 맞추려면 필요한 교차 횟수만 정확히 세면 된다!
- 선분 하나가 부분을 얼마나 늘리는지 보기 (더 쉬운 경우부터)
- 주어진 선분 3개의 사실로 규칙 확인하기
- 선분 4개의 최소.최대 부분 수 구하기
- 각 목표에 필요한 교차점 수 읽어 내기
- 각 목표를 직접 그리기