문제
원의 수
직사각형 틀 안에 크고 작은 원이 겹쳐 그려져 있습니다. 어떤 원은 온전히 보이고 어떤 원은 가려져 일부만 보입니다. 한 원의 일부분인 호는 새 도형이 아니라 그 원 하나로 셉니다. 그려진 원이 모두 몇 개인지 셉니다.
사고력 · 초3-2 원과 도형의 수
내 답
조심 보이는 호를 하나씩 세면 같은 원을 여러 번 세게 됩니다. 원마다 중심은 하나이니 중심을 세면 됩니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 겹친 원을 눈으로 세면 두 번 세거나 빠뜨리기 쉽다. 믿을 만한 방법은, 완전하든 일부분이든 모든 원에는 중심이 꼭 하나뿐임을 이용하는 것이다. 각 원의 중심에 점을 찍고 그 점을 세면 된다. 구역을 나누어(빠짐없이 나열) 세면 빠뜨리거나 겹쳐 세지 않는다.
1STEP 1
'원 세기'를 '중심 세기'로 바꾸기
원마다 중심이 하나뿐이라 중심을 세면 두 번 세지 않습니다.
1개의 원 ⇔ 1개의 중심
아무리 겹쳐 있어도 원은 중심 점을 정확히 하나 가지므로, 중심은 각 원을 한 번씩 표시하는 깔끔한 방법이다.
3.G.A.1Organize Information In More Ways중심을 세면 원을 세는 것이 되는데, 아무리 겹쳐 있어도 모든 원은 중심을 정확히 하나씩 가지기 때문이다.
왜?
원은 한 점에서 정해진 반지름만큼 떨어진 점들이므로, 그 점은 그 원만의 것이고 다른 원의 것이 아니다.
🧱원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
왜?
중심 하나가 원 하나를 가리키고 원 하나가 중심 하나를 지니므로, 중심을 표시하면 각 원이 정확히 한 번씩 세어진다.
🧱일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.
2STEP 2
틀을 구역별로 훑기
틀을 띠로 나눠 구역마다 중심 점을 찍어 갑니다.
위 + 가운데 + 아래
복잡한 그림을 몇 개의 차분한 띠로 나누면, 원 무더기가 짧고 확인하기 쉬운 목록이 된다.
2.G.A.1Make A Systematic List3STEP 3
구역별 수를 더하기
구역별 수를 더하면 24개입니다.
8 + 8 + 8 = 24
조심히 만든 작은 부분 수들을 더하는 것이, 엉킨 그림을 한 번에 눈대중하는 것보다 훨씬 안전하다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List정답
24 개
그림 설명에 원이 '약 두 다스'라고 되어 있고 두 다스는 24이므로, 센 결과가 예상한 크기와 맞는다. 모든 원을 중심 하나로 표시하고 센 원은 표시해 두었으므로 두 번 세거나 빠뜨리지 않았다.
핵심 정리
어떤 원이든, 반쯤 가려진 원이라도 중심은 딱 하나! 중심을 찍어 세면 엉킨 그림도 쉽게 24개가 된다.
- '원 세기'를 '중심 세기'로 바꾸기
- 틀을 구역별로 훑기
- 구역별 수를 더하기