문제
조건에 맞는 수
어떤 자연수는 80보다 크고 90보다 작습니다. 5로 나누면 나머지가 2입니다. 7로 나누면 나머지가 3입니다. 그 수를 구합니다.
사고력 · 초3-2 조건과 나눗셈
내 답
조심 일의 자리가 2인 수만 찾기 쉽지만, 5로 나눈 나머지가 2인 수는 일의 자리가 7인 것도 포함합니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 81부터 89까지는 수가 매우 적습니다. '5로 나누면 나머지가 2'라는 조건은 일의 자리가 2 또는 7이라는 뜻이라 후보가 둘뿐이고, 그 둘을 7로 나누는 조건으로 확인하면 됩니다.
1STEP 1
5로 나눈 나머지로 후보 좁히기
5로 나눠 2가 남으려면 일의 자리가 2나 7이라 82와 87입니다.
82 = 5 × 16 + 2, 87 = 5 × 17 + 2
5로 나눈 나머지 2는 '5의 배수에서 2 더 간 수'라는 뜻이므로 일의 자리가 2 또는 7이어야 합니다. 빠른 거르기 방법입니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List5로 나누어 나머지가 2라는 것은 그 수가 5의 배수보다 2 크다는 뜻이므로, 끝자리는 2 아니면 7이다.
왜?
어떤 수를 온전한 5씩과 나머지로 가르는 일은 언제나 한 가지 방법으로만 가능하며, 여기서 나머지는 2로 고정되어 있다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
왜?
십은 모두 5의 배수이므로 나머지를 정할 수 있는 것은 일의 자릿수뿐이며, 그래서 나머지가 끝자리를 못 박는다.
🧱배수 판정은 자리값에서 나온다10, 100, 1000이 나누는 수와 정해진 관계에 있어 특정 자리만 문제가 된다 — 끝 두 자리가 4를, 자릿수의 합이 3과 9를 정한다.
2STEP 2
각 후보를 7로 나누어 확인하기
7로 나누면 82는 5가 남고 87은 3이 남습니다.
82 = 7 × 11 + 5, 87 = 7 × 12 + 3
나머지가 있는 나눗셈은 3학년 기능이고, 남은 수를 3과 비교하면 어떤 후보가 맞는지 바로 알 수 있습니다.
3.OA.B.6Eliminate Possibilities3STEP 3
범위 확인하기
범위에도 맞아 답은 87입니다.
80 ＜ 87 ＜ 90
남은 수를 모든 조건에 다시 대입해 보면, 조건을 만족하는 유일한 수임을 확신할 수 있습니다.
3.OA.A.4Eliminate Possibilities정답
87
87 = 5 × 17 + 2 = 7 × 12 + 3
87을 5로 나누면 17 나머지 2, 7로 나누면 12 나머지 3이고, 87은 80과 90 사이에 있습니다. 다른 후보 82는 7로 나누는 조건에서 탈락했으므로 87이 유일한 답입니다.
핵심 정리
5로 나눈 나머지가 2이면 일의 자리가 2 또는 7이에요. 이 한 가지 비법으로 확인할 수가 단 두 개로 줄어들어요!
- 5로 나눈 나머지로 후보 좁히기
- 각 후보를 7로 나누어 확인하기
- 범위 확인하기
이어서 풀어볼까요