문제
조건과 표 그리기
30명을 좋아하는 과목별로 정리하는데 수학 9명, 과학 6명이고 셋은 비어 있습니다. 미술은 과학보다 많고 수학보다 적습니다. 음악은 영어보다 3명 많고, 모든 수는 자연수입니다. 미술·음악·영어를 채워 합계가 30이 되게 합니다.
사고력 · 초3-2 표를 이용하여 문제 해결하기
내 답
조심 미술이 7이어도 될 것 같지만, 그러면 영어가 2.5가 되어 학생 수가 될 수 없습니다.
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기 — 먼저 30에서 이미 아는 과목을 빼서 미술·음악·영어가 합쳐 얼마가 되어야 하는지 알아냅니다. 6 ＜ 미술 ＜ 9 조건이 미술의 후보를 두 가지로만 줄여 주므로, 각각을 짧은 표로 시험해 보고 음악 = 영어 + 3을 이용해 자연수로 맞는 경우를 찾습니다.
1STEP 1
빈칸 세 개에 남은 합 구하기
수학과 과학이 15명이라 남은 셋의 합은 15명입니다.
30 - (9 + 6) = 30 - 15 = 15
빈칸에는 수학·과학에 들지 않은 학생이 모두 들어가므로 남은 합은 15로 정해집니다.
2.NBT.B.7Work Backwards2STEP 2
미술의 후보 좁히기
미술은 6과 9 사이라 7이나 8뿐입니다.
6 ＜ 미술 ＜ 9 → 미술 = 7 또는 8
'6보다 크고 9보다 작다'는 시험해 볼 자연수 후보를 둘로 줄여 줍니다.
1.NBT.B.3Make A Systematic List3STEP 3
미술 = 8 시험하기
미술이 8이면 영어 2, 음악 5로 딱 맞습니다.
8 + 음악 + 영어 = 15, 음악 = 영어 + 3 → 영어 = 2, 음악 = 5
남은 합을 음악이 영어보다 3 많게 나누면 영어 값이 둘 다 자연수가 되도록 정해집니다.
3.OA.D.8Guess And Check4STEP 4
미술 = 7이 안 되는지 확인하기
미술이 7이면 영어가 2.5가 되어 안 됩니다.
7 + 음악 + 영어 = 15 → 2 × 영어 + 3 = 8 → 영어 = 2.5 (자연수 아님)
학생은 자연수로 세므로 소수가 나오면 그 후보는 답이 될 수 없습니다.
3.OA.D.8Guess And Check미술이 7이면 틀릴 수밖에 없는데, 학생 수가 자연수가 아닌 값이 되도록 강요하기 때문이다.
왜?
학생은 한 사람씩 온전하게 세므로, 학생의 일부를 요구하는 선택은 그 자리에서 무너진다.
🧱반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
왜?
남은 인원을 한쪽이 다른 쪽보다 3 많도록 가르는 일은 나머지가 없을 때에만 성립한다.
🧱나머지가 있는 나눗셈어떤 수든 같은 크기 묶음 몇 개와 나머지로 갈라지고, 나머지는 언제나 묶음 크기보다 작다.
정답
미술 8, 음악 5, 영어 2
합계를 확인하면 9 + 6 + 8 + 5 + 2 = 30으로 반 인원과 같습니다. 조건도 맞습니다: 미술은 6 ＜ 8 ＜ 9이고, 음악 5는 영어 2보다 정확히 3 많습니다.
핵심 정리
빈칸의 합이 15라는 걸 알고 나면 미술을 두 번만 시험해 보면 표 전체가 정해져요!
- 빈칸 세 개에 남은 합 구하기
- 미술의 후보 좁히기
- 미술 = 8 시험하기
- 미술 = 7이 안 되는지 확인하기
이어서 풀어볼까요