문제
가짜 금화 찾기
1번부터 8번까지 금화 중 정확히 1개가 나머지보다 무거운 가짜입니다. 각 저울질은 양쪽에 같은 개수를 올리므로 가짜가 없으면 평형입니다. 내려간 쪽에 가짜가 있고, 평형이면 그 안에는 없습니다. 세 저울질 결과로 가짜를 찾습니다.
사고력 · 초3-2 무게의 응용
내 답
조심 평형인 저울은 쓸모없어 보이지만, 그 위의 금화가 가짜가 아님을 알려 줍니다.
풀이 과정
전략 가능성 지우기 — 후보가 8개로 분명히 유한합니다. 각 저울질은 가짜가 들어 있는 무리(또는 수평이면 가짜가 없는 금화)를 알려 줍니다. 세 결과에 모두 들어맞는 금화만 남기면 8개가 1개로 좁혀집니다.
1STEP 1
첫째 저울로 무거운 무리 남기기
첫째 저울이 기울어 가짜는 1, 3, 6번 중 하나입니다.
fake ∈ {1, 3, 6}
무거운 금화가 그 접시를 끌어내리므로, 내려간 쪽에 가짜가 숨어 있습니다.
3.MD.A.2Eliminate Possibilities2STEP 2
셋째 저울로 또 다른 무거운 무리 남기기
셋째 저울에서는 1, 3, 7번 중 하나가 됩니다.
fake ∈ {1, 3, 7}
같은 규칙으로, 가라앉은 쪽에 무거운 금화가 들어 있습니다.
3.MD.A.2Eliminate Possibilities3STEP 3
첫째와 셋째 저울 합치기
두 무리에 함께 있는 것은 1번과 3번뿐입니다.
{1, 3, 6} ∩ {1, 3, 7} = {1, 3}
두 목록이 함께 가리키는 부분, 즉 겹치는 곳에 답이 있습니다.
3.OA.D.8Make A Systematic List무거운 동전은 두 무거운 무리가 겹치는 곳에 있어야 하는데, 두 무리 모두에 동시에 들어 있기 때문이다.
왜?
두 무거운 무리 어느 한쪽 밖에 있는 동전은 그 저울질만으로 지워지므로, 두 무리에 모두 든 동전만 살아남는다.
🧱나머지를 지우면 남은 하나가 정해진다하나만 남기고 모든 가능성이 지워졌다면 남은 것이 답일 수밖에 없다 — 더 확인할 필요가 없다.
왜?
각 저울질은 동전을 무거운 쪽과 가벼운 쪽으로 남김없이 가르므로, 모든 동전이 분명한 판정을 받는다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
4STEP 4
둘째 저울로 1번과 3번 구별하기
둘째 저울이 평형이라 3번은 가짜가 아닙니다.
level → 3 is not the fake → fake = 1
저울이 수평이면 어느 접시에도 무거운 금화가 없으므로 3번을 지울 수 있습니다.
3.OA.D.8Eliminate Possibilities5STEP 5
1번을 세 저울에 모두 맞춰 보기
남는 것은 1번이고 세 결과에 모두 들어맞습니다.
정답은 모든 단서와 일치해야 하는데, 1번이 바로 그러합니다.
3.OA.D.8Draw A Diagram정답
1번
1번은 첫째 저울에서 왼쪽을 내려가게 하고(1번이 거기 있음), 둘째 저울에서 수평을 이루며(1번이 없음), 셋째 저울에서 오른쪽을 내려가게 합니다(1번이 거기 있음). 세 결과가 모두 맞고 다른 금화는 세 결과를 동시에 만족하지 못하므로 답은 유일하며 타당합니다.
핵심 정리
저울이 기울면 가짜는 무거운 쪽에, 평형을 이루면 가짜는 다른 곳에 있어요. 무리를 하나씩 지워 나가면 금화 한 개만 남습니다!
- 첫째 저울로 무거운 무리 남기기
- 셋째 저울로 또 다른 무거운 무리 남기기
- 첫째와 셋째 저울 합치기
- 둘째 저울로 1번과 3번 구별하기
- 1번을 세 저울에 모두 맞춰 보기
이어서 풀어볼까요