문제
정사각형의 개수
일정한 간격의 5 × 5 점판에서 점을 이어 정사각형을 만듭니다. 네 꼭짓점이 모두 점 위에 있어야 합니다. 똑바른 것과 기울어진 것을 모두 세되, 돌리거나 뒤집어 같은 것은 한 가지입니다. 서로 다른 정사각형이 몇 가지인지 구합니다.
사고력 · 초3-1 점을 이어 만든 도형의 개수
내 답
조심 격자에 나란한 것만 세면 네 가지에서 그칩니다. 기울어진 정사각형도 네 가지가 더 있습니다.
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기 — 정사각형은 돌리거나 뒤집는 것을 빼면 변 하나로 모양이 정해지고, 점판에서 변은 '가로로 a칸, 세로로 b칸' 가는 걸음으로 나타낼 수 있습니다. 두 정사각형이 한 가지인 것은 변의 길이가 같을 때입니다. 그래서 4칸짜리 점판에 들어가는 변 걸음 (a, b)를 나열하고, 길이가 같은 것끼리 묶어 길이마다 하나씩 셉니다. 쉬운 부분인 똑바른 정사각형(b = 0)과 기울어진 정사각형(b ＞ 0)으로 나누어 생각합니다.
1STEP 1
똑바른 정사각형의 가짓수 세기
똑바른 것은 변이 1, 2, 3, 4칸이라 4가지입니다.
upright side lengths 1,2,3,4 → 4 kinds
똑바른 정사각형은 크기만 다르고, 점 5개짜리 줄에서는 변의 길이가 1, 2, 3, 4칸까지 가능합니다.
2.G.A.1Identify Subproblems2STEP 2
기울어진 정사각형을 변 걸음 (가로 a, 세로 b)로 나타내기
기울어진 것은 걸음 (a, b)로 나타내고 a + b가 4 이하여야 들어갑니다.
side step (a,b), a ≥ 1, b ≥ 1, a+b ≤ 4
정사각형을 기울인다는 것은 변이 '가로 a, 세로 b'만큼 비스듬해지는 것인데, 많이 기울수록 더 큰 상자가 필요해 기울기가 점판 크기에 제한됩니다.
3.G.A.1Draw A Diagram3STEP 3
기울어진 가짓수를 같은 크기끼리 묶어 나열하기
걸음은 (1,1), (2,1), (2,2), (3,1)로 4가지이고 크기가 모두 다릅니다.
(1,1) :2, (2,1) :5, (2,2) :8, (3,1) :10 → 4 kinds
허용되는 기울기마다 크기가 제각각인 정사각형이 나오고, 들어가는 네 기울기가 모두 다른 크기라 네 가지로 따로 셉니다.
3.OA.A.1Make A Systematic List4STEP 4
똑바른 것과 기울어진 것의 가짓수 더하기
두 무리에 겹치는 크기가 없어 4 + 4 = 8가지입니다.
4 + 4 = 8
정사각형을 크기로 묶어 크기마다 하나씩 세면 돌리거나 뒤집은 것을 두 번 세는 일이 없습니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List서로 다른 크기마다 하나씩만 세면 돌리거나 뒤집은 복사본이 새로운 종류로 세어지는 일이 없다.
왜?
돌리기나 뒤집기는 정사각형을 한 변의 길이가 똑같은 정사각형으로 옮기므로, 복사본은 자리만 새로운 같은 종류다.
🧱강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).
왜?
각 정사각형의 크기는 하나로 정해지므로, 크기가 모든 정사각형을 정확히 한 종류로 나누고 종류를 더할 수 있다.
🧱겹치지 않는 경우는 더한다어느 경우도 겹치지 않고 빠지지도 않게 나누면 각 경우의 개수를 그냥 더하면 된다.
정답
8 가지
4 + 4 = 8
여덟 가지의 변 길이 제곱은 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16입니다 — 완전제곱수 네 개(똑바른 1x1, 2x2, 3x3, 4x4)와 완전제곱수가 아닌 네 개(기울기 (1,1), (2,1), (2,2), (3,1))입니다. 여덟 값이 모두 달라 여덟 가지가 정말 서로 다르며, 허용되는 기울기 a+b ＜ = 4를 빠짐없이 나열했으니 놓친 것이 없습니다. 자리가 아니라 가짓수를 세는 것이 '돌리거나 뒤집은 것은 한 가지'라는 조건이 요구하는 바이고, 8은 3학년 세기 문제로 알맞은 작은 수입니다.
핵심 정리
돌리거나 뒤집은 것은 한 가지로 보니까 크기만 적으면 돼요: 똑바른 정사각형 4가지(1, 2, 3, 4)와 아직 들어가는 기울어진 것 4가지 — 모두 8가지랍니다!
- 똑바른 정사각형의 가짓수 세기
- 기울어진 정사각형을 변 걸음 (가로 a, 세로 b)로 나타내기
- 기울어진 가짓수를 같은 크기끼리 묶어 나열하기
- 똑바른 것과 기울어진 것의 가짓수 더하기